Question

有4個(gè)工廠A、B、C、D，且AB=akm，BC=km，CD=km，∠ACB=90°，∠BCD=120°．現(xiàn)在要找一個(gè)供應(yīng)站H的位置，使它到4個(gè)工廠的距離和HA+HB+HC+HD為最小，說明道理，并求出最小值．

Answer 1

解：根據(jù)題意作圖有兩種情況：

（1）A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成凸四邊形，
連接AC、BD其交點(diǎn)H為所求供應(yīng)站的位置，任取一點(diǎn)H′，就有H′A+H′C＞AC=HA+HC，
H′B+H′D＞BD=HB+HD，兩式相加得：H′A+H′C+H′B+H′D＞HA+HB+HC+HD，所以H點(diǎn)到A、B、C、D的距離和為最�。�
可求得AC==．過D作DE⊥BC的延長線，垂足為E．易知∠DCE=60°
∴CE=DC•cos60°=，∴DE²=BC²-CE²=BD²-（BC+EC）²=BD²-，
∴BD²=+=，
∴BD=+．
∴HA+HB+HC+HD的最小值為BD+AC=（+）a．
（2）凹四邊形．

連接AC，H點(diǎn)與C點(diǎn)重合，即C點(diǎn)為所求供應(yīng)站的位置．不妨任取一點(diǎn)H′，若H′在DC、AC延長線所夾的角內(nèi)，就有H′A+H′D＞HA+HD，H′B+H′C＞CB．
故得：H′A+H′C+H′B+H′D＞AC+CD+CB=HA+HB=HC=HD．
若H′在AC、BC延長線或BC、DC延長線所夾的角內(nèi)，或在AC、BC、CD的延長線上，均可證得上述結(jié)論，
所以C點(diǎn)為所求H點(diǎn)位置．
AC==．
∴HA+HB+HC+HD的最小值為CA+CB+CD=．
分析：找到AC．BD交點(diǎn)H，求證H到到A、B、C、D的距離和為最�。�根據(jù)勾股定理計(jì)算AC，求證HA+HB+HC+HD=BD+AC．
點(diǎn)評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了分類討論思想，本題中討論四邊形ABCD為凸四邊形還是凹四邊形是解本題的關(guān)鍵．