(1999•哈爾濱)已知:如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,點P從點A開始沿AC邊向點C勻速移動,點Q從點A開始沿AB邊向點B,再沿BC邊向點C勻速移動.若P、Q兩點同時從點A出發(fā),則可同時到達點C.
(1)如果P、Q兩點同時從點A出發(fā),以原速度按各自的移動路線移動到某一時刻同時停止移動,當點Q移動到BC邊上(Q不與C重合)時,求作以tan∠QCA、tan∠QPA為根的一元二次方程;
(2)如果P、Q兩點同時從點A出發(fā),以原速度按各自的移動路線移動到某一時刻同時停止移動,當S△PBQ=時,求PA的長.

【答案】分析:(1)首先由勾股定理求出BC的長度,然后根據(jù)已知條件若P、Q兩點同時從點A出發(fā),則可同時到達點C,得出在相等的時間之內(nèi),Q點運動的路程是P點運動路程的2倍.如果作QH⊥AC,垂足為H,設P點移動的路程為x,Q點移動的路程為2x.那么根據(jù)正切函數(shù)的定義可分別求出tan∠QCA、tan∠QPA的值,再由一元二次方程根與系數(shù)的關系,求出以tan∠QCA、tan∠QPA為根的一元二次方程.
(2)如果P、Q兩點同時從點A出發(fā),當S△PBQ=時,點Q的位置可能有兩種情況:①點Q在AB上;②點Q在BC上.針對每一種情況,均可根據(jù)三角形的面積公式列出關于x的方程(設PA=x),求出的符合題意的解即為所求.
解答:解:在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,
∴BC=10.
∵P、Q兩點從點A同時出發(fā),可同時到達點C,
(1分)
(1)設P點移動的路程為x,Q點移動的路程為2x.
∴CP=8-x,BQ=2x-6,CQ=16-2x.(1分)
作QH⊥AC,垂足為H(如右下圖).
∵∠A=90°,∴QH∥AB,


∴PH=CH-CP=(8-x),
∴tan∠QPA==2.(1分)
∵tan∠QCA=
∴tan∠QPA+tan∠QCA=,
tan∠QPA•tan∠QCA=
∴以tan∠QCA、tan∠QPA為根的一元二次方程為
y2-即4y2-11y+6=0.(1分)

(2)當S△PBQ=時,設PA=x,點Q的位置有兩種情況:
①當點Q在AB上時(如圖),
則AQ=2x,BQ=6-2x.
S△PBQ=
=
=
,
∵△=9-,
∴此方程無實根,故點Q不能在AB上;(2分)
②當點Q在BC邊上時(如圖),
則QB=2x-6.
作PG⊥BC,垂足為G,
∴△PCG∽△BCA,

,
∴S△PBQ=
=
=
∴x2-11x+28=0,
解得:x1=4,x2=7.
∴S△PBQ=時,PA=4或7.(2分)
點評:本題主要考查了相似三角形的性質及判定,勾股定理、正切函數(shù)的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關系等知識,綜合性較強,難度較大.注意在求第二問時,雖然點Q不能在AB上,但是在討論時,不能遺漏這種情況.
練習冊系列答案
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(1999•哈爾濱)已知:如圖,在平面直角坐標系中,以點A(4,0)為圓心,AO為半徑的圓交x軸于點B.設M為x軸上方的圓長交y軸于點D.
(1)當點P在弧OM上運動時,設PC=x,=y,求y與x之間的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍;
(2)當點P運動到某一位置時,恰使OB=3OD,求此時AC所在直線的解析式.

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(1999•哈爾濱)已知:如圖,在平面直角坐標系中,以點A(4,0)為圓心,AO為半徑的圓交x軸于點B.設M為x軸上方的圓長交y軸于點D.
(1)當點P在弧OM上運動時,設PC=x,=y,求y與x之間的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍;
(2)當點P運動到某一位置時,恰使OB=3OD,求此時AC所在直線的解析式.

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(1)求經(jīng)過O1、C、O2三點的拋物線的解析式;
(2)設直線y=kx+m與(1)中的拋物線交于M、N兩點,若線段MN被y軸平分,求k的值;
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科目:初中數(shù)學 來源:1999年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

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(1)當點P在弧OM上運動時,設PC=x,=y,求y與x之間的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍;
(2)當點P運動到某一位置時,恰使OB=3OD,求此時AC所在直線的解析式.

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(1999•哈爾濱)函數(shù)y=中,自變量x的取值范圍是   

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