Question

【題目】如圖 1，在平面直角坐標系中，已知拋物線 y=ax2+bx﹣5 與 x 軸交于 A（﹣1，0），B（5， 0）兩點，與 y 軸交于點 C．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點 D 是 y 軸上的一點，且以 B，C，D 為頂點的三角形與△ABC 相似，求點 D 的坐標；

（3）如圖 2，CE∥x 軸與拋物線相交于點 E，點 H 是直線 CE 下方拋物線上的動點，過點 H且與 y 軸平行的直線與 BC，CE 分別相交于點 F，G，試探究當點 H 運動到何處時，四邊形CHEF 的面積最大，求點 H 的坐標及最大面積；

（4）若點 K 為拋物線的頂點，點 M（4，m）是該拋物線上的一點，在 x 軸，y 軸上分別找點 P，Q，使四邊形 PQKM 的周長最小，求出點 P，Q 的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x﹣5；（2）D 的坐標為（0，1）或（0，）；（3）H（，﹣）,S= ；（4）P（，0），Q（0，﹣）．

【解析】

（1）根據待定系數法直接確定出拋物線解析式；

（2）分兩種情況，利用相似三角形的比例式即可求出點 D 的坐標；

（3）先求出直線 BC 的解析式，進而求出四邊形 CHEF 的面積的函數關系式，即可求出最大值；

（4）利用對稱性找出點 P，Q 的位置，進而求出 P，Q 的坐標．

（1）∵點 A（﹣1，0），B（5，0）在拋物線 y=ax2+bx﹣5 上，

∴，

∴，

∴拋物線的表達式為 y=x2﹣4x﹣5，

（2）如圖 1，

令 x=0，則 y=﹣5，

∴C（0，﹣5），

∴OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴AB=6，BC=5，

要使以 B，C，D 為頂點的三角形與△ABC 相似，則或，

①時，

CD=AB=6，

∴D（0，1），

②當時，

∴，

∴CD=，

∴D（0，），

即：D的坐標為（0，1）或（0，）；

（3）設 H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x軸，

∴點E的縱坐標為﹣5，

∵E在拋物線上，

∴x2﹣4x﹣5=﹣5，

∴x=0（舍）或 x=4，

∴E（4，﹣5），

∴CE=4，

∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴直線BC的解析式為y=x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF=t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）=﹣（t﹣）2+，

∵CE∥x軸，HF∥y軸，

∴CE⊥HF，

∴S四邊形CHEF=CEHF=﹣2（t﹣）2+，

當t=時，四邊形CHEF的面積最大．

當t=時，t2-4t-5=﹣10﹣5=﹣，

∴H（，﹣）；

（4）如圖 2，

∵K 為拋物線的頂點，

∴K（2，﹣9），

∴K 關于 y 軸的對稱點 K'（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在拋物線上，

∴M（4，﹣5），

∴點 M 關于 x 軸的對稱點 M'（4，5），

∴直線 K'M'的解析式為 x﹣，

∴P（，0），Q（0，﹣）．