Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，菱形OABC的頂點A（3，4），C在x軸的負半軸，拋物線y=﹣ （x﹣2）2+k過點A．

（1）求k的值；
（2）若把拋物線y=﹣ （x﹣2）2+k沿x軸向左平移m個單位長度，使得平移后的拋物線經(jīng)過菱形OABC的頂點C．試判斷點B是否落在平移后的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 經(jīng)過點A（3，4），

∴ ，

解得：

（2）解：如圖所示，

設(shè)AB與y軸交于點D，則AD⊥y軸，AD=3，OD=4， ．

∵四邊形OABC是菱形，

∴OA=AB=OC=5，BD=AB﹣AD=2，

∴B（﹣2，4）．

令y=0，得 ，

解得：x1=0，x2=4，

∴拋物線 與x軸交點為O（0，0）和E（4，0），OE=4，

當m=OC=5時，平移后的拋物線為 ，

令x=﹣2得， ，

∴點B在平移后的拋物線 上；

當m=CE=9時，平移后的拋物線為 ，

令x=﹣2得， ，

∴點B不在平移后的拋物線 上．

綜上，當m=5時，點B在平移后的拋物線上；當m=9時，點B不在平移后的拋物線上

【解析】（1）將點A的坐標代入二次函數(shù)解析式中，可得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AB與y軸交于點D，結(jié)合勾股定理以及菱形的性質(zhì)找出點B、C的坐標，根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出該拋物線與x軸的交點坐標，再根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后過C點的二次函數(shù)的解析式，代入B點的坐標來驗證其是否在平移后的函數(shù)圖象上即可得出結(jié)論..
【考點精析】利用二次函數(shù)圖象的平移和菱形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．