Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，7），過(guò)點(diǎn)D的直線y=kx+b交x軸、y軸于點(diǎn)M、N，四邊形ABCD、A₁B₁C₁C、A₂B₂C₂C₁，…均為正方形．
（1）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為    ；點(diǎn)M的坐標(biāo)是    ；
（2）若如此連續(xù)組成正方形，則正方形A_nB_nC_nC_n-1的邊長(zhǎng)為    （用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)D作DP垂直于x軸，DQ垂直于y軸，由D的坐標(biāo)得出DP與DQ的長(zhǎng)，四邊形ABCD為正方形，得到四個(gè)角為直角，四條邊相等，由同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且AD=AB，利用AAS得到三角形ADQ與三角形AOB全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到QD=AO，AQ=OB，求出OA與OB的長(zhǎng)，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，即為正方形ABCD的邊長(zhǎng)，再由直角三角形ADM中，DQ垂直于AM，得到三角形MDQ與三角形AOD相似，由相似得比例，將各自的值代入求出MQ的長(zhǎng)，由MQ+OQ求出OM的長(zhǎng)，即可確定出M的坐標(biāo)；
（2）由同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，得到△AOB與△BA₁B₁相似，由相似得比例，將各自的值代入求出A₁B₁的長(zhǎng)，即為正方形A₁B₁C₁C的邊長(zhǎng)，同理求出A₂B₂C₂C₁的邊長(zhǎng)，以此類推，即可得到正方形A_nB_nC_nC_n-1的邊長(zhǎng)．
解答：解：（1）過(guò)D作DP⊥x軸于P，DQ⊥y軸于Q，
∵D（3，7），
∴DP=7，DQ=3，
∵四邊形ABCD正方形，
∴∠ADC=∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB=BC=DC，
∴∠DAQ+∠BAO=90°，又∠DAQ+∠ADQ=90°，
∴∠BAO=∠ADQ，
在△ADQ和△ABO中，
，
∴△ADQ≌△BAO（AAS），
∴DQ=AO=3，AQ=OB=OQ-OA=7-3=4，
在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB==5，
∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5；
在Rt△ADM中，DQ⊥AM，
∴△MDQ∽△DAQ，
∴DQ²=MQ•AQ，即9=4MQ，
∴MQ=，
∴OM=MQ+OQ=+7=，
則M（0，）；

（2）∵AB∥A₁B₁，
∴∠ABO=∠A₁B₁B，又∠AOB=∠BA₁B₁=90°，
∴△AOB∽△BA₁B₁，又AB=BC=5，
∴=，即=，
又A₁C=A₁B₁，
∴A₁B₁==；
同理得到A₂B₂==，A₃B₃==，
則以此類推，正方形A_nB_nC_nC_n-1的邊長(zhǎng)為．
故答案為：（1）5；（0，）；（2）．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，鍛煉了學(xué)生歸納總結(jié)的能力．