Question

【題目】已知，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交軸于、兩點(diǎn)(在軸負(fù)半軸上)，交軸于點(diǎn)，連接，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）為直線上方第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接、，，延長交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(不要求寫出自變量的取值范圍)

（3）把線段沿直線翻折，得到線段，為第二象限內(nèi)一點(diǎn)，連接、，，為線段上一點(diǎn)，于點(diǎn)，射線交線段于點(diǎn)，連接交于，交于點(diǎn)，連接，若，，設(shè)直線與拋物線第一象限交點(diǎn)為，求點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（1，4）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線解析式可求得點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)，可求得點(diǎn)A坐標(biāo)，再將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式即可求得；

（2）如圖，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，過點(diǎn)B作BD⊥PR，證明∠PRB=∠PBR，則△PRB為等腰三角形，即可得到RH=HB，再代入各點(diǎn)橫坐標(biāo)即可求得關(guān)系式；

（3）如圖，設(shè)，則，所以，則E（﹣1，），

由，且BD為線段AB沿直線BC翻折所得，可知點(diǎn)D（3，4），求得，

由FN⊥BE知，則，可求直線FG的解析式為：，進(jìn)而求得，因?yàn)?/span>，代入可求得，則點(diǎn)G坐標(biāo)為（3，2），所以直線AG的解析式為：，直線BE的解析式為：；再設(shè)點(diǎn)K（u，），則，，由，解得，則K（，），直線BK的解析式為：，由點(diǎn)M為直線BK與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立方程即可求得點(diǎn)M（1，4）．

解：（1）由拋物線可知，

點(diǎn)C（0，3），

∴OC=3，

∵，

∴OA=1，

∴A（﹣1，0），

將點(diǎn)A（﹣1，0）代入，

可求得：b=2，

∴拋物線的解析式為：

（2）如圖，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，過點(diǎn)B作BD⊥PR，

由（1）知拋物線的解析式為：，

∴可求得點(diǎn)B坐標(biāo)為，（3，0），

∴OC=OB，

∴∠CBO=45°，

∵，

∴∠PBC=∠DBC，

∵∠PBR=∠PBC＋∠CBO=45°＋∠PBC，∠DRB=90°－∠DBR，而∠DBR=∠CBO－∠DBO，

∴∠DRB=90°－∠CBO+∠DBO=45°＋∠DBO，

∴∠PRB=∠PBR，

∴△PRB為等腰三角形，RH=HB，

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

∴，

即；

（3）如圖，

設(shè)，則，

∴，

∵，

∴E（﹣1，），

∵，BD為線段AB沿直線BC翻折所得，

∴點(diǎn)D（3，4），

∴，

∵FN⊥BE，

∴，

∴，

∴直線FG的解析式為：，

令，則（3，），

∴

∵∠EHA=45°，

由直線的夾角公式得：，

∴，

∴，

化簡得：，

即，

∵，

∴，

∴G（3，2），

∴直線AG的解析式為：，

∴直線BE的解析式為：，

設(shè)點(diǎn)K（u，），，

∴，，

由直線夾角公式得：,

即，，

∴，

化簡得：或，

解得：，，，，

∵，

∴，

∴K（，），

∴直線BK的解析式為：，

∵點(diǎn)M為直線BK與拋物線的交點(diǎn)，

∴聯(lián)立，

解得：或（即為點(diǎn)B，舍去），

所以點(diǎn)M（1，4）．