Question

【題目】如圖，直線l1：y＝kx+b與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6），∠BAO=30°將直線l1沿著y軸正方向平移一段距離得到直線l2交y軸于點(diǎn)M，且l1與l2之間的距離為3，點(diǎn)C（x，y）是直線11上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的垂線CD交y軸于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)和直線l1的解析式；

（2）當(dāng)C運(yùn)動到什么位置時，△AOD的面積為21，求出此時點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）連接AM，將△ABM繞著點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)得到△A'B'M，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)N．使四邊形AMA'N為矩形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）M(0，6+2)，直線l1的解析式為：y＝x+6；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(-，)或(，)；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(-6-8，6)或(6-4，-6)．

【解析】

（1）過點(diǎn)B作BH⊥l1于點(diǎn)H，由l1∥l2，得∠BMH=∠OBA=60°，進(jìn)而得BM=2，即可得到M的坐標(biāo)，由題意得A(-6，0)，根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到答案；

（2）連接AD，設(shè)點(diǎn)D(0，m)，結(jié)合，△AOD的面積為21，求得m的值為±7，分兩種情況：①當(dāng)D(0，-7)時，②當(dāng)D(0，7)時，分別求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；

（3）由四邊形AMA'N為矩形，且MA = MA'，得四邊形AMA'N為正方形，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時，②當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時，分別求出點(diǎn)N的坐標(biāo)即可．

（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，6)，∠BAO=30°，∠AOB=90°，

∴BO=6，AO=6，

∴A(-6，0)，

把(0，6)，(-6，0)，代入y＝kx+b，得，解得：，

∴直線l1的解析式為：y＝x+6，

過點(diǎn)B作BH⊥l1于點(diǎn)H，如圖1，

∵l1∥l2，

∴∠BMH=∠OBA=90°-30°=60°，

∴∠MBH=30°，

∵BH=3，

∴BM=3÷×2=2，

∴M(0，6+2)；

（2）連接AD，設(shè)點(diǎn)D(0，m)，

由題意得：OAOD=21，

∴×6× =21，解得：m=±7，

①當(dāng)D(0，-7)時，過點(diǎn)C作CN⊥y軸于點(diǎn)N，如圖2，

∵CD⊥l2，

∴∠CDB=90°-∠ABO=90°-60°=30°，

∵BD=OB+OD=6+7=13，

∴CD=13÷2×=，CN=CD=，DN=CN=，

∴ON=-7=，

∴C(-，)；

②當(dāng)D(0，7)時，同理可得：C(，)，

綜上所述：點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(-，)或(，)；

（3）存在，理由如下：

∵四邊形AMA'N為矩形，且MA = MA'，

∴四邊形AMA'N為正方形，

∴AN=AM，

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時，過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)N，如圖3，

∵∠AHN=∠MAN=∠AOM=90°，

∴∠HAN+∠OAM=∠OAM+∠AMO=90°，

∴∠HAN=∠AMO，

∴AHNMOA（AAS），

∴NH=OA=6，AH=OM=6+2，

∴OH=AH+OA=6+8，

∴N(-6-8，6)，

②當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時，過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)N，如圖4，

同理可得：AHNMOA（AAS），

∴NH=OA=6，AH=OM=6+2，

∴OH=AH-OA=6-4，

∴N(6-4，-6)，

綜上所述：點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(-6-8，6)或(6-4，-6)．

圖1 圖2

圖3 圖4