Question

已知關(guān)于x的函數(shù)y=ax²+x+1（a為常數(shù)）
（1）若函數(shù)的圖象與x軸恰有一個交點，求a的值；
（2）若函數(shù)的圖象是拋物線，且頂點始終在x軸上方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）需考慮a為0和不為0的情況，當(dāng)a=0時圖象為一直線；當(dāng)a≠0時圖象是一拋物線，由判別式△=b²-4ac判斷；
（2）根據(jù)拋物線的縱坐標(biāo)的頂點公式列出不等式則可解．

解答：解：
（1）當(dāng)a=0時，函數(shù)為y=x+1，它的圖象顯然與x軸只有一個交點（-1，0）．
當(dāng)a≠0時，依題意得方程ax²+x+1=0有兩等實數(shù)根．
∴△=b²-4ac=1-4a=0，
∴a=

1

4

．
∴當(dāng)a=0或a=

1

4

時函數(shù)圖象與x軸恰有一個交點；

（2）依題意有

4a-1

4a

＞0，
當(dāng)4a＞0，4a-1＞0，解得a＞

1

4

；
當(dāng)4a＜0，4a-1＜0，解得a＜0．
∴a＞

1

4

或a＜0．
當(dāng)a＞

1

4

或a＜0時，拋物線頂點始終在x軸上方．

點評：函數(shù)可能是一次函數(shù)，也可能是二次函數(shù)；只有一個交點，那么b²-4ac=0；頂點在x軸上方，那么頂點縱坐標(biāo)大于0．