Question

【題目】如圖，拋物線L：y=ax2+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），已知對(duì)稱(chēng)軸x=1．

（1）求拋物線L的解析式；

（2）將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍；

（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線l：x=﹣3上，△PBQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)2≤h≤4；(3)（1，4），（0，3），（，）和（，）．

【解析】試題分析：(1)、利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；(2)、先求出直線BC解析式為y=﹣x+3，再求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出當(dāng)x=1時(shí)，y=2；結(jié)合拋物線頂點(diǎn)坐即可得出結(jié)果；(3)、設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），由勾股定理得出PB2=（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2，PQ2=（m+3）2+（﹣m2+2m+3﹣n）2，BQ2=n2+36，過(guò)P點(diǎn)作PM垂直于y軸，交y軸與M點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，由AAS證明△PQM≌△BPN，得出MQ=NP，PM=BN，則MQ=﹣m2+2m+3﹣n，PN=3﹣m，得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m，解方程即可．

試題解析：(1)、∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1，B（3，0）， ∴A（﹣1，0） ∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)C（0，3）

∴當(dāng)x=0時(shí)，c=3． 又∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）

∴， ∴∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3；

(2)、∵C（0，3），B（3，0）， ∴直線BC解析式為y=﹣x+3， ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4） ∵對(duì)于直線BC：y=﹣x+1，當(dāng)x=1時(shí)，y=2；將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，[源:∴當(dāng)h=2時(shí)，拋物線頂點(diǎn)落在BC上； 當(dāng)h=4時(shí)，拋物線頂點(diǎn)落在OB上，

∴將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)（包括△OBC的邊界），

則2≤h≤4；

(3)、設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），

①當(dāng)P點(diǎn)在x軸上方時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PM垂直于y軸，交y軸與M點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線于N點(diǎn)，如圖所示： ∵B（3，0）， ∵△PBQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴∠BPQ=90°，BP=PQ， 則∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP， 在△PQM和△BPN中，，

∴△PQM≌△BPN（AAS）， ∴PM=BN， ∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根據(jù)B點(diǎn)坐標(biāo)可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，

∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6， 解得：m=1或m=0， ∴P（1，4）或P（0，3）．

②當(dāng)P點(diǎn)在x軸下方時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作PM垂直于l于M點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作BN垂直于MP的延長(zhǎng)線與N點(diǎn)，

同理可得△PQM≌△BPN， ∴PM=BN， ∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3， 則3+m=m2﹣2m﹣3，

解得m=或． ∴P（，）或（，）．

綜上可得，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，4），（0，3），（，）和（，）．