Question

【題目】如圖，拋物線經過A（），B（），C（）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線AC下方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求點D的坐標；

（3）設點M是拋物線的頂點，試判斷拋物線上是否存在點H滿足？若存在，請求出點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；

（2）點D的坐標為（-1，-1）．

（3）點H存在．點H坐標為．

【解析】

試題（1）由待定系數法即可得；

由題意可求得直線AC的解析式為．如圖，

設D點的橫坐標為t（-2＜t＜0），則D點的縱坐標為．過D作y軸的平行線交AC于E．則E點的坐標為．從而可得，用h表示點C到線段DE所在直線的距離，則可得

，由-2＜t＜0可知當t=-1時，△DAC面積最大，此時點D的坐標為（-1，-1）．

點H存在．

由（1）知，點M的坐標為

如圖，假設存在點H，滿足

作直線MH交軸于點K（，0），作MN⊥軸于點N． 可得，從而有，從而得點K的坐標為（），得直線MK的解析式為，解方程組，得，．將代入中，解得，由于直線MN與拋物線有兩個交點（其中一點為頂點M）．從而知 拋物線上必存在一點H，使∠AMH＝90， 此時點H坐標為．

試題解析：（1）∵該拋物線過點C（0，2），∴可設該拋物線的解析式為．

將A（-2，0），B（-，0）代入，得，解得：

∴此拋物線的解析式為；

（2）由題意可求得直線AC的解析式為．如圖，

設D點的橫坐標為t（-2＜t＜0），則D點的縱坐標為．

過D作y軸的平行線交AC于E．∴E點的坐標為．

∴，用h表示點C到線段DE所在直線的距離，

∴

∵-2＜t＜0

∴當t=-1時，△DAC面積最大，此時點D的坐標為（-1，-1）．

（3）點H存在．

由（1）知，點M的坐標為

如圖，假設存在點H，滿足

作直線MH交軸于點K（，0），作MN⊥軸于點N．

∵,，∴，

∵，∴，∴，∴

∴，∴，∴點K的坐標為（），所以直線MK的解析式為，∴，把①代入②，化簡，得：，＞0．

∴，．將代入中，解得

∴ 直線MN與拋物線有兩個交點（其中一點為頂點M）．

∴ 拋物線上必存在一點H，使∠AMH＝90， 此時點H坐標為．