Question

已知：拋物線y=-x²+2mx-4m-m²（m是常數(shù)）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）當(dāng)m取最大整數(shù)時(shí)，求出此拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中所求拋物線頂點(diǎn)為C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B，直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)A．點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足D在直線AC上．若S_△PAD=S_△ABC，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出方程有兩實(shí)數(shù)根時(shí)m的值，進(jìn)而可求得此拋物線的解析式；
（2）先求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，分別按照①點(diǎn)D在線段AC上②點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上③點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上三種情況時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：（1）解：∵拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，
∴△＞0．即（2m）²+4（-4m-m²）＞0
解得：m＜0
∴m＜0時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)m取最大的整數(shù)時(shí)，
∴m=-1．
即y=-x²-2x+3

（2）拋物線頂點(diǎn)C（-1，4），對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)B（-1，0）．
直線y=-x+3與x軸交于點(diǎn)A，
A（3，0）
BA=BC，∠PCD=45°．
①當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，設(shè)PD=DC=x，
AC=
根據(jù)題意，得
解得，x=
當(dāng)x=時(shí)，PC=x=4+2．
P（-1，-2）
當(dāng)x=2-2時(shí)，PC=4-2，
P（-1，2）
②當(dāng)點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)PD=DC=x，
根據(jù)題意，得
解得，x=．
當(dāng)x=-2-2＜0，舍去．
當(dāng)x=-2+2時(shí)，PC=x=-4+2，
P（-1，2）
③當(dāng)點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)PD=DC=x，
根據(jù)題意，得．
解得，x=2±2．
當(dāng)x=2-2＜0，舍去．
當(dāng)x=2+2時(shí)，PC=x=4+2．
P（-1，-2）、P（-1，-2）、P（-1，2）、P（-1，2）、P（-1，-2）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和動(dòng)點(diǎn)問題等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．