Question

如圖，∠C=90°，點(diǎn)A、B在∠C的兩邊上，CA=30，CB=20，連接AB．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿BC的方向運(yùn)動，到點(diǎn)C停止．當(dāng)點(diǎn)P與B、C兩點(diǎn)不重合時，作PD⊥BC交AB于點(diǎn)D，作DE⊥AC于點(diǎn)E．F為射線CB上一點(diǎn)，使得∠CEF=∠ABC．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為x秒．
（1）用含有x的代數(shù)式表示CE的長．
（2）求點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時x的值．
（3）當(dāng)點(diǎn)F在線段CB上時，設(shè)四邊形DECP與四邊形DEFB重疊部分圖形的面積為y（平方單位）．求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）證出△DBP∽△ABC得到，即利用相似三角形的性質(zhì)得到PD與x的關(guān)系；
（2）證出△CEF∽△CBA得到，利用相似三角形的性質(zhì)得到CF與x的關(guān)系，又知CF=CB，據(jù)此求出x的值；
（3）由于圖①中重疊部分為梯形，根據(jù)梯形面積公式建立起y和x的函數(shù)關(guān)系式；由于圖②中重疊部分為三角形，根據(jù)三角形面積公式建立起y和x的函數(shù)關(guān)系式．
解答：解：（1）∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴DP∥AC，
∴△DBP∽△ABC，四邊形PDEC為矩形，
∴，CE=PD．
∴．
∴CE=6x；

（2）∵∠CEF=∠ABC，∠C為公共角，
∴△CEF∽△CBA，
∴．
∴．
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時，CF=CB，9x=20．
解得．

（3）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)P重合時，BP+CF=CB，4x+9x=20，
解得．
當(dāng)時，如圖①，

=-51x²+120x．
當(dāng)＜x≤時，如圖②，

==（20-4x）²．
（或）．
點(diǎn)評：本題是一道代數(shù)幾何綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，同時要熟悉梯形與三角形的面積公式．