Question

（2010•杭州）如圖，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，點(diǎn)B，A，E在同一條直線上．
（1）求證：△ABD∽△CAE；
（2）如果AC=BD，AD=2BD，設(shè)BD=a，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BD∥AC，得∠EAC=∠B；根據(jù)已知條件，易證得AB：AC和BD：AE的值相等，由此可根據(jù)SAS判定兩個(gè)三角形相似．
（2）首先根據(jù)已知條件表示出AB、AD、AC的值，進(jìn)而可由勾股定理判定∠D=∠E=90°；根據(jù)（1）得出的相似三角形的相似比，可表示出EC、AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可在Rt△BEC中，根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)．
解答：（1）證明：∵BD∥AC，點(diǎn)B，A，E在同一條直線上，
∴∠DBA=∠CAE，
又∵==3，
∴△ABD∽△CAE；（4分）

（2）解：∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，
∴AD²+BD²=8BD²+BD²=9BD²=AB²，
∴∠D=90°，
由（1）得△ABD∽△CAE
∴∠E=∠D=90°，
∵AE=BD，EC=AD=BD，AB=3BD，
∴在Rt△BCE中，BC²=（AB+AE）²+EC²
=（3BD+BD）²+（BD）²=BD²=12a²，
∴BC=2a．（6分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用．能夠由勾股定理判斷出△ABD和△AEC是直角三角形，是解答（2）題的關(guān)鍵．