Question

（2009•大興區(qū)二模）已知，拋物線y=ax²+bx+c過點A（-3，0），B（1，0），C（0，），此拋物線的頂點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）把△ABC的繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180°，得到四邊形AEBC．
①求E點的坐標；
②試判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由．
（3）試探求：在直線BC上是否存在一點P，使得△PAD的周長最��？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式．
（2）①△ABC繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180度．可知點E和點C關(guān)于點M對稱．則E的坐標就可以求出．
②根據(jù)四邊形AEBC的對角線互相平分，可知是平行四邊形．Rt△ACO中，OC=，OA=3得到∠ABE=30°，
在Rt△COB中OC=，OB=1得到∠CBO=60°，則∠CBE=∠CBO+∠ABE=60°+30°=90°因而ABEC是矩形．
（3）點A與點A₁也關(guān)于直線BC對稱．連接A₁D，與直線BC相交于點P，連接PA，則△PAD的周長最�。�求出BC的解析式，A₁D的解析式，兩直線的交點就是所求的點．
解答：解：（1）∵y=ax²+bx+c過C（0，），
∴
又y=ax²+bx+c過點A（-3，0）B（1，0），
∴
∴，
∴此拋物線的解析式為．

（2）①△ABC繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180度．可知點E和點C關(guān)于點M對稱，
∴M（-1，0），C（0，），
∴E（-2，-）．
②四邊形AEBC是矩形．
∵△ABC繞AB的中點M旋轉(zhuǎn)180°得到四邊形AEBC，
∴△ABC≌△AEB
∴AC=EB，AE=BC，
∴AEBC是平行四邊形在Rt△ACO中，OC=，OA=3，
∴∠CAB=30°
∵AEBC是平行四邊形
∴AC∥BE，
∴∠ABE=30°在Rt△COB中
∵OC=，OB=1，
∴∠CBO=60°，
∴∠CBE=∠CBO+∠ABE=60°+30°=90°ABEC是矩形．

（3）假設(shè)在直線BC上存在一點P，使△PAD的周長最�。�
因為AD為定值，所以使△PAD的周長最小，就是PA+PD最小；
∵AEBC是矩形，
∴∠ACB=90°，
∴A（-3，0）關(guān)于點C（0，）的對稱點A₁（3，2）．
點A與點A₁也關(guān)于直線BC對稱．
連接A₁D，與直線BC相交于點P，連接PA，則△PAD的周長最�。�
∵B（1，0）、C（0，）
∴BC的解析式為
∵A₁（3，2）、D（-1，）
∴A₁D的解析式為．
∴，
∴，
∴P的坐標為（）．
點評：本題主要靠了待定系數(shù)法求直線的解析式，以及函數(shù)圖象交點坐標的求法．