Question

如圖，△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，過點(diǎn)A作AD∥BC，點(diǎn)P、Q分別是射線AD、線段BA上的動(dòng)點(diǎn)，且AP＝BQ，過點(diǎn)P作PE∥AC交線段AQ于點(diǎn)O，聯(lián)接PQ，設(shè)△POQ面積為y，AP＝x．

(1)用x的代數(shù)式表示PO；

(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(3)聯(lián)接QE，若△PQE與△POQ相似，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AD∥BC，PE∥AC 　　∴四邊形APEC是平行四邊形　1分 　　∴AC＝PE＝6，AP＝EC＝x　1分 　　，　1分 　　可得　1分 　　(2)∵AB＝BC＝5，∴∠BAC＝∠BCA 　　又∠APE＝∠BCA，∠AOP＝∠BCA， 　　∴∠APE＝∠AOP，∴AP＝AO＝ 　　∴當(dāng)時(shí)，；　1分 　　作BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分別為點(diǎn)F、H， 　　則易得AF＝CF＝3，AB＝5，BF＝4 　　由∠OHQ＝∠AFB＝90°，∠QOH＝∠BAF 　　得△OHQ∽△AFB 　　∴，∴，∴　2分 　　　1分 　　所以y與x的函數(shù)關(guān)系式是 　　　1分 　　(3)解法一： 　　當(dāng)時(shí) 　　由AP＝BQ＝x，AQ＝BE＝5－x，∠PAQ＝∠QBE 　　可得△PAQ≌△QBE，于是PQ＝QE　1分 　　由于∠QPO＝∠EPQ， 　　所以若△PQE與△POQ相似，只有△PQE∽△POQ 　　可得OP＝OQ　1分 　　于是得，解得　2分 　　同理當(dāng)，可得(不合題意，舍去)　1分 　　所以，若△PQE與△POQ相似，AP的長(zhǎng)為． 　　解法二：當(dāng)時(shí)， 　　可得，于是得， 　　　1分 　　由于∠QPO＝∠EPQ， 　　所以若△PQE與△POQ相似，只有△PQE∽△POQ 　　　1分 　　 　　解得，(不合題意，舍去)　2分 　　所以，若△PQE與△POQ相似，AP的長(zhǎng)為．　1分