Question

如圖，直線（k＞0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點P是線段AB的中點，拋物線經(jīng)過點A、P、O（原點）．
（1）求過A、P、O的拋物線解析式；
（2）在（1）中所得到的拋物線上，是否存在一點Q，使∠QAO=45°？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由于拋物線經(jīng)過原點，
所以c=0；
∵直線（k＞0）與y軸交于B點，
∴B（0，3）；
∵點A在x軸上，
∴點A的縱坐標為0，
∵P是線段AB的中點，故P點縱坐標==，
∴=，
解得b=-4（正值舍去）；
故拋物線的解析式為：y=-x²-4x．

（2）由（1）的拋物線解析式，易求得A（-，0）；
①當Q在x軸上方時，由于∠OAQ=45°，
所以設直線AQ的解析式為：y=x+h，則有：
-+h=0，h=；
∴直線AQ：y=x+；
聯(lián)立拋物線的解析式有：
，
解得，；
故Q（-，）；
②當Q在x軸下方時，同①可求得Q（，-）．
綜上可知：存在符合條件的Q點，且坐標為：Q（-，）或（，-）．
分析：（1）根據(jù)直線AB的解析式，可求得B點坐標，而P為線段AB的中點，那么點P的縱坐標為B點縱坐標的一半，由于拋物線經(jīng)過原點，那么c=0，根據(jù)公式法表示出P點縱坐標，即可求得b的值，由此確定該拋物線的解析式．
（2）此題應分兩種情況討論：
①當Q點在x軸上方時，由于∠OAQ=45°，那么直線AQ的斜率為k=1，而A點坐標易求得，即可得到直線AQ的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可求得Q點坐標；
②當Q點在x軸下方時，方法同①．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及函數(shù)圖象交點坐標的求法，難度適中．