Question

【題目】如圖，已知AB為半圓O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，連接AC，BC，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作半圓O的切線(xiàn)交OD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接BD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F．

（1）求證：AEBC=ADAB；

（2）若半圓O的直徑為10，sin∠BAC=，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)已知條件易證△EAD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2））作DM⊥AB于M，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理分別求出DM、BM的長(zhǎng)，再由DM∥AE，得,代入數(shù)據(jù)即可求得AF的長(zhǎng)．

試題解析：（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，

∴∠C=90°，

∵OD⊥AC，

∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，

∵AE是切線(xiàn)，

∴OA⊥AE，

∴∠E+∠AOE=90°，

∴∠E=∠CAB，

∴△EAD∽△ABC，

∴AE：AB=AD：BC，

∴AEBC=ADAB．

（2）解：作DM⊥AB于M，

∵半圓O的直徑為10，sin∠BAC=，

∴BC=ABsin∠BAC=6，

∴AC==8，

∵OE⊥AC，

∴AD=AC=4，OD=BC=3，

∵sin∠MAD==，

∴DM=，AM===，BM=AB﹣AM=，

∵DM∥AE，

∴，

∴AF=．