如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,動點E以每秒1個單位長度的速度從點A開始沿邊AB向點B運動,動點F以每秒2個單位長度的速度從點B開始沿折線BC﹣CD向點D運動,動點E比動點F先出發(fā)1秒,其中一個動點到達終點時,另一個動點也隨之停止運動,設點F的運動時間為t秒.

(1)點F在邊BC上.

①如圖1,連接DE,AF,若DE⊥AF,求t的值;

②如圖2,連結EF,DF,當t為何值時,△EBF與△DCF相似?

(2)如圖3,若點G是邊AD的中點,BG,EF相交于點O,試探究:是否存在在某一時刻t,使得=?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.


解:(1)①如圖1

∵DE⊥AF,

∴∠AOE=90°,

∴∠BAF+∠AEO=90°,

∵∠ADE+∠AEO=90°,

∴∠BAE=∠ADE,

又∵四邊形ABCD是正方形,

∴AE=AD,∠ABF=∠DAE=90°,

在△ABF和△DAE中,

∴△ABF≌△DAE(ASA)

∴AE=BF,

∴1+t=2t,

解得t=1.

②如圖2

∵△EBF∽△DCF

=,

∵BF=2t,AE=1+t,

∴FC=4﹣2t,BE=4﹣1﹣t=3﹣t,

=,

解得,t=,t=(舍去),

故t=

(2)①0<t≤2時如圖3,以點B為原點BC為x軸,BA為y軸建立坐標系,

A的坐標(0,4),G的坐標(2,4),F(xiàn)點的坐標(2t,0),E的坐標(0,3﹣t)

EF所在的直線函數(shù)關系式是:y=x+3﹣t,

BG所在的直線函數(shù)關系式是:y=2x,

∵BG==2

=,

∴BO=,OG=,

設O的坐標為(a,b),

解得

∴O的坐標為(,

把O的坐標為(,)代入y=x+3﹣t,得

=×+3﹣t,

解得,t=(舍去),t=,

②當3≥t>2時如圖4,以點B為原點BC為x軸,BA為y軸建立坐標系,

A的坐標(0,4),G的坐標(2,4),F(xiàn)點的坐標(4,2t﹣4),E的坐標(0,3﹣t)

EF所在的直線函數(shù)關系式是:y=x+3﹣t,

BG所在的直線函數(shù)關系式是:y=2x,

∵BG==2

=,

∴BO=,OG=,

設O的坐標為(a,b),

解得

∴O的坐標為(,)

把O的坐標為(,)代入y=x+3﹣t,得

=×+3﹣t,

解得:t=

綜上所述,存在t=或t=,使得=

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