Question

如圖，AB＝AC，AD＝AE．

求證：∠B＝∠C．

Answer 1

答案：
解析：

利用全等三角形的知識(shí)，同學(xué)們很快就可以證明∠B＝∠C．但我們繼續(xù)思考：假設(shè)線段BE與線段CD相交于點(diǎn)P，那么射線AP是否平分∠BAC？經(jīng)過推理，可知AP是∠BAC的平分線．由此我們得到角的平分線的又一種作法． 　　已知：∠AOB． 　　求作：∠AOB的平分線． 　　作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作弧，交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D． 　　(2)再以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧(長度與(1)中不同)，交OA于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F． 　　(3)連接CF、DE，CF與DE交于點(diǎn)P． 　　(4)作射線OP．則射線OP即為所求(如圖)． 　　反思：作法已經(jīng)介紹完了，那么這種作法的道理何在呢？下面給出此題的證明思路． 　　思路：過點(diǎn)P分別作AO與BO的垂線，垂足為M、N．如圖所示．首先由作法可得CE＝DF，△FOC≌△EOD．所以S△FOC＝S△EOD．進(jìn)而可得S△EPC＝S△FPD．因?yàn)镃E＝DF，所以PM＝PN．所以由“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”可得點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，即OP為∠AOB的平分線． 　　點(diǎn)評(píng)：(1)利用三角形全等和“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”證明某線為角的平分線是一種常見的證明方法； 　　(2)利用面積法來證明垂線段相等是一種常見的證明線段相等的方法．