Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B（6，0）兩點(diǎn)，且對稱軸為直線x=2，與y軸交于點(diǎn)C（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M是拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接MA、MC，當(dāng)△MAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D（4，k）在（1）中拋物線上，點(diǎn)E為拋物線上一動點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使以A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如果存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)拋物線與x軸交于A、B（6，0）兩點(diǎn)，且對稱軸為直線x=2可以求出A的坐標(biāo)，然后設(shè)所求拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6），接著把C的坐標(biāo)代入其中即可求解；
（2）根據(jù)題意知道當(dāng)△MAC的周長最小時(shí)，即MA+MC的值最小，然后連BC，交直線x=2于點(diǎn)M，即為所求的點(diǎn)．根據(jù)作圖可以求出直線BC的解析式，把x=2代入其中求出y即可解決問題；
（3）存在．首先根據(jù)已知條件求出D的坐標(biāo)，然后討論：
如圖（1），當(dāng)AF₂為平行四邊形的邊時(shí)，接著根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到E的坐標(biāo)；
如圖（2），當(dāng)AF為平行四邊形的對角線時(shí)，設(shè)E′的坐標(biāo)為（x，4），把E′（x，4）代入y=

1

3

x2-

4

3

x-4得x=2±2

7

，由此即可求解．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于A、B（6，0）兩點(diǎn)，且對稱軸為直線x=2，
∴A（-2，0），
又∵拋物線過點(diǎn)A、B、C，
故設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-6），
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，
求得a=

1

3

，
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x2-

4

3

x-4；

（2）當(dāng)△MAC的周長最小時(shí)，即MA+MC的值最小，
連接BC，交直線x=2于點(diǎn)M，即為所求的點(diǎn)；
∵直線BC經(jīng)過B（6，0），C（0，-4），
∴直線CB的解析式為yBC=

2

3

x-4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-

8

3

∴M(2，-

8

3

)；

（3）∵點(diǎn)D（4，k）在拋物線y=

1

3

x2-

4

3

x-4上，
∴當(dāng)x=4時(shí)，k=-4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，-4），
如圖（1），當(dāng)AF₂為平行四邊形的邊時(shí)，
∵D（4，-4），
∴DE=4．
∴F₁（-6，0）；
如圖（2），當(dāng)AF為平行四邊形的對角線時(shí)，
F的坐標(biāo)為（x，0）
把F（x，0）代入y=

1

3

x2-

4

3

x-4，
得x=2±2

7

．
∴F₂（2+2

7

，0），F(xiàn)₃（2-2

7

，0）．

點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合題，分別考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式、平行四邊形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生有很強(qiáng)的綜合分析問題，解決問題的能力，同時(shí)相關(guān)的基礎(chǔ)知識也熟練掌握．