Question

如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D（0，

7

9

3

），且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，該圖象在x軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式來設(shè)二次函數(shù)的解析式如：y=a（x-4）²+k，根據(jù)二次函數(shù)過點(diǎn)（0，

7 3

9

），可得出

7

9

3

=16a+k；由于A、B關(guān)于x=4對(duì)稱，且AB=6，不難得出A、B的坐標(biāo)為（1，0），（7，0），可將它們的坐標(biāo)代入解析式中即可求出a、k的值．
（2）本題的關(guān)鍵是確定P的位置，由于對(duì)稱軸垂直平分AB，因此P不論在對(duì)稱軸的什么位置都有PA=PB，連接DB，如果P是交點(diǎn)時(shí)，PA+PD的長(zhǎng)就是BD的長(zhǎng)，兩點(diǎn)之間線段最短，因此要想PA+PD最小，P必為DB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)．可根據(jù)B、D的坐標(biāo)求出BD所在直線的解析式，然后求出與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)．即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）由于三角形ABC是等腰三角形，要想使QAB與三角形ABC相似，三角形QAB必須為等腰三角形．要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)Q在x軸下方時(shí)，Q，C重合，Q點(diǎn)的坐標(biāo)就是C點(diǎn)的坐標(biāo)．
②當(dāng)Q在x軸上方時(shí)，應(yīng)該有兩個(gè)符合條件的點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸左右兩側(cè)各一個(gè)，且這兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸相對(duì)稱．因此只需求出一點(diǎn)的坐標(biāo)即可．以AQ=AB為例：可過Q作x軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中，根據(jù)BQ即AB的長(zhǎng)以及∠QBx的度數(shù)來求出Q的坐標(biāo)．然后根據(jù)對(duì)稱性求出另外一點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-h）²+k
∵頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，且過點(diǎn)（0，

7

9

3

）
∴y=a（x-4）²+k，

7

9

3

=16a+k①
又∵對(duì)稱軸為直線x=4，圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為6
∴A（1，0），B（7，0）
∴0=9a+k②
由①②解得a=

3

9

，k=-

3

∴二次函數(shù)的解析式為：y=

3

9

（x-4）²-

3

（2）∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=4對(duì)稱
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上時(shí)PA+PD取得最小值
∴DB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P
設(shè)直線x=4與x軸交于點(diǎn)M
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，
又∵∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴

PM

DO

=

BM

BO

∴PM=

7 9 3 ×3

7

=

3

3

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，

3

3

）

（3）由（1）知點(diǎn)C（4，-

3

），
又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=

3

3

，
∴∠ACM=60°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°
①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，過Q作QN⊥x軸于N

如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有
BQ=6，∠ABQ=120°，則∠QBN=60°
∴QN=3

3

，BN=3，ON=10，
此時(shí)點(diǎn)Q（10，3

3

），
如果AB=AQ，由對(duì)稱性知Q（-2，3

3

）
②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，△QAB就是△ACB，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（4，-

3

），
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)（10，3

3

）與（-2，3

3

）都在拋物線上
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)Q，使△QAB∽△ABC
點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（10，3

3

）或（-2，3

3

）或（4，-

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．要注意（2）中確定P點(diǎn)位置的方法．在（3）中不確定Q位置的情況下要分類進(jìn)行討論，不要漏解．