Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，點(diǎn)A（2,1）.

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（3）在（2）所求的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P，使四邊形ABOP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) B（-1.2）;(2) y=;(3)見(jiàn)解析.

【解析】

（1）過(guò)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，則可證明△ACO≌△ODB，則可求得OD和BD的長(zhǎng)，可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)A、B、O三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（3）由四邊形ABOP可知點(diǎn)P在線段AO的下方，過(guò)P作PE∥y軸交線段OA于點(diǎn)E，可求得直線OA解析式，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出PE的長(zhǎng)，進(jìn)一步表示出△POA的面積，則可得到四邊形ABOP的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）如圖1，過(guò)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵△AOB為等腰三角形，

∴AO=BO，

∵∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，

∴∠AOC=∠OBD，

在△ACO和△ODB中

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∵A（2，1），

∴OD=AC=1，BD=OC=2，

∴B（-1，2）；

（2）∵拋物線過(guò)O點(diǎn)，

∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，

∴經(jīng)過(guò)A、B、O原點(diǎn)的拋物線解析式為y=x2-x；

（3）∵四邊形ABOP，

∴可知點(diǎn)P在線段OA的下方，

過(guò)P作PE∥y軸交AO于點(diǎn)E，如圖2，

設(shè)直線AO解析式為y=kx，

∵A（2，1），

∴k=，

∴直線AO解析式為y=x，

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t2-t），則E（t，t），

∴PE=t-（t2-t）=-t2+t=-（t-1）2+，

∴S△AOP=PE×2=PE═-（t-1）2+，

由A（2，1）可求得OA=OB=，

∴S△AOB=AOBO=，

∴S四邊形ABOP=S△AOB+S△AOP=-（t-1）2++=，

∵-＜0，

∴當(dāng)t=1時(shí)，四邊形ABOP的面積最大，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-），

綜上可知存在使四邊形ABOP的面積最大的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（1，-）．