Question

（2012•臺(tái)州）定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點(diǎn)，線段PQ的長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．
已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐標(biāo)系中四點(diǎn)．
（1）根據(jù)上述定義，當(dāng)m=2，n=2時(shí)，如圖1，線段BC與線段OA的距離是

2

；當(dāng)m=5，n=2時(shí)，如圖2，線段BC與線段OA的距離為

5

；
（2）如圖3，若點(diǎn)B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關(guān)于m的函數(shù)解析式．
（3）當(dāng)m的值變化時(shí)，動(dòng)線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點(diǎn)為M，
①求出點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長；
②點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x軸，垂足為H，是否存在m的值使以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）理解新定義，按照新定義的要求求出兩個(gè)距離值；
（2）如答圖2所示，當(dāng)點(diǎn)B落在⊙A上時(shí)，m的取值范圍為2≤m≤6：
當(dāng)4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；
當(dāng)2≤m＜4時(shí)，作BN⊥x軸于點(diǎn)N，線段BC與線段OA的距離等于BN長；
（3）①在準(zhǔn)確理解點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡的基礎(chǔ)上，畫出草圖，如答圖3所示．由圖形可以直觀求出封閉圖形的周長；
②如答圖4所示，符合題意的相似三角形有三個(gè)，需要進(jìn)行分類討論，分別利用點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系以及相似三角形比例線段關(guān)系求出m的值．

解答：解：（1）當(dāng)m=2，n=2時(shí)，
如題圖1，線段BC與線段OA的距離（即線段AB長）=2；
當(dāng)m=5，n=2時(shí)，
B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長，
如答圖1，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，則AN=1，BN=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB=

AN2+BN2

=

12+22

=

5

．

（2）如答圖2所示，當(dāng)點(diǎn)B落在⊙A上時(shí)，m的取值范圍為2≤m≤6：
當(dāng)4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；
當(dāng)2≤m＜4時(shí)，作BN⊥x軸于點(diǎn)N，線段BC與線段OA的距離等于BN長，
ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：
∴d=

22-(4-m)2

=

4-16+8m-m2

=

-m2+8m-12

．

（3）①依題意畫出圖形，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡如答圖3中粗體實(shí)線所示：
由圖可見，封閉圖形由上下兩段長度為8的線段，以及左右兩側(cè)半徑為2的半圓所組成，
其周長為：2×8+2×π×2=16+4π，
∴點(diǎn)M隨線段BC運(yùn)動(dòng)所圍成的封閉圖形的周長為：16+4π．
②結(jié)論：存在．
∵m≥0，n≥0，∴點(diǎn)M位于第一象限．
∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．
如答圖4所示，相似三角形有三種情形：
（I）△AM₁H₁，此時(shí)點(diǎn)M縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)H在A點(diǎn)左側(cè)．
如圖，OH₁=m+2，M₁H₁=2，AH₁=OA-OH₁=2-m，
由相似關(guān)系可知，M₁H₁=2AH₁，即2=2（2-m），
∴m=1；
（II）△AM₂H₂，此時(shí)點(diǎn)M縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)H在A點(diǎn)右側(cè)．
如圖，OH₂=m+2，M₂H₂=2，AH₂=OH₂-OA=m-2，
由相似關(guān)系可知，M₂H₂=2AH₂，即2=2（m-2），
∴m=3；
（III）△AM₃H₃，此時(shí)點(diǎn)B落在⊙A上．
如圖，OH₃=m+2，AH₃=OH₃-OA=m-2，
過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，則BN=M₃H₃=n，AN=m-4，
由相似關(guān)系可知，AH₃=2M₃H₃，即m-2=2n  （1）
在Rt△ABN中，由勾股定理得：2²=（m-4）²+n²  （2）
由（1）、（2）式解得：m₁=

26

5

，m₂=2，
當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)H與點(diǎn)A重合，故舍去，
∴m=

26

5

．
綜上所述，存在m的值使以A、M、H為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，m的取值為：1、3或

26

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是以圓為基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)型壓軸題，綜合考查了圓的相關(guān)性質(zhì)、相似三角形、點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理、解方程等重要知識(shí)點(diǎn)，難度較大．本題涉及動(dòng)線與動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過程比較復(fù)雜，準(zhǔn)確理解運(yùn)動(dòng)過程是解決本題的關(guān)鍵．第（3）①問中，關(guān)鍵是畫出點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡的圖形，結(jié)合圖形求解一目了然；第（3）②問中，注意分類討論思想的運(yùn)用，避免漏解．