Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣ x2﹣ x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C

（1）求點A，B，C的坐標；
（2）點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積；
（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得﹣ x2﹣ x+2=0，

∴x2+2x﹣8=0，

x=﹣4或2，

∴點A坐標（2，0），點B坐標（﹣4，0），

令x=0，得y=2，∴點C坐標（0，2）．

（2）

解：由圖像①AB為平行四邊形的邊時，

∵AB=EF=6，對稱軸x=﹣1，

∴點E的橫坐標為﹣7或5，

∴點E坐標（﹣7，﹣ ）或（5，﹣ ），此時點F（﹣1，﹣ ），

∴以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積=6× = ．

②當點E在拋物線頂點時，點E（﹣1， ），設(shè)對稱軸與x軸交點為M，令EM與FM相等，則四邊形AEBF是菱形，此時以A，B，E，F(xiàn)為頂點的平行四邊形的面積= ×6× = ．

（3）

解：如圖所示

①當C為等腰三角形的頂角的頂點時，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，

在RT△CM1N中，CN= = ，

∴點M1坐標（﹣1，2+ ），點M2坐標（﹣1，2﹣ ）．

②當M3為等腰三角形的頂角的頂點時，∵直線AC解析式為y=﹣x+2，

∴線段AC的垂直平分線為y=x與對稱軸的交點為M3（﹣1．﹣1），

∴點M3坐標為（﹣1，﹣1）．

③當點A為等腰三角形的頂角的頂點的三角形不存在．

綜上所述點M坐標為（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+ ）或（﹣1，2﹣ ）．

【解析】（1）分別令y=0，x=0，即可解決問題．（2）由圖像可知AB只能為平行四邊形的邊，分E點為拋物線上的普通點和頂點2種情況討論，即可求出平行四邊形的面積．（3）分A、C、M為頂點三種情形討論，分別求解即可解決問題．