如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,
OC=4,拋物線經(jīng)過A,B兩點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為D.
(1)求b,c的值;
(2)點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、B除外),過點(diǎn)E作x軸的垂線
交拋物線于點(diǎn)F,當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下:①求以點(diǎn)E、B、F、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積;②在拋物線上
是否存在一點(diǎn)P,使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形? 若存在,求出所有點(diǎn)P的
坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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解:(1)由已知得:A(-1,0) B(4,5)
∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)B(4,5)
∴
解得:b=-2 c=-3
(2如26題圖:∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0)B(4,5)
∴直線AB的解析式為:y=x+1
∵二次函數(shù)
∴設(shè)點(diǎn)E(t, t+1),則F(t,)
∴EF=
=
∴當(dāng)時(shí),EF的最大值=
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,
)
(3)①如26題圖:順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形EBFD.
可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)(,
),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4)
S = S
+ S
=
=
②如26題備用圖:ⅰ)過點(diǎn)E作a⊥EF交拋物線于點(diǎn)P,
設(shè)點(diǎn)P(m,)
則有: 解得:
,
∴,
ⅱ)過點(diǎn)F作b⊥EF交拋物線于,設(shè)
(n,
)
則有: 解得:
,
(與點(diǎn)F重合,舍去)∴
綜上所述:所有點(diǎn)P的坐標(biāo):,
(
. 能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形.
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29 |
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