Question

已知：C為反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0，x＜0)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作直線l⊥x軸于A點(diǎn)，連接OC，過(guò)C點(diǎn)作CD⊥OC交曲線于點(diǎn)D（D在C右側(cè)），連接OD，過(guò)D點(diǎn)作DB∥x軸交直線l于B點(diǎn)，S_△AOC=4．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)OA=4時(shí)，在直線l上是否存在異于C的點(diǎn)P，使△OPD為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）把△BCD沿CD翻折，當(dāng)B點(diǎn)恰好落在OD上時(shí)，四邊形OCBD的面積是否隨著點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其面積；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義，即可求得k的值；
（2）已知0A=4，則C的橫坐標(biāo)是-4，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得C的坐標(biāo)，根據(jù)OC與CD互相垂直，則兩直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則CD的解析式即可求解，解CD得解析式與反比例函數(shù)的解析式組成的方程組即可求得D的坐標(biāo)，然后分O、P、D分別是直角頂點(diǎn)三種情況，利用互相垂直的直線，兩直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，即可求得P的坐標(biāo)；
（3）把△BCD沿著CD翻折，點(diǎn)B與CD上點(diǎn)E重合，DC平分∠BDC，則Rt△AOC∽R(shí)t△BCD，設(shè)C（m，n），即可利用m，n表示出四邊形的面積，據(jù)此即可求解．

解答：解：（1）設(shè)C的坐標(biāo)為（m，n），m＜0，

1

2

|m||n|=4，
∴mn=±8，
∴k=xy=mn=±8．
∵反比例函數(shù)的圖象一個(gè)分支在第二象限，
∴k=-8；

（2）當(dāng)OA=4時(shí)，m=-4，則n=-

8

-4

=2，
∴C的坐標(biāo)是：（-4，2）．
∵CD⊥OC，直線OC的斜率是：-

1

2

，
∴CD的方程為y=2x+10，
∴當(dāng)k=-8時(shí)y=-

8

x

，．
解方程組：

y=- 8 x y=2x+10

，
解得：

x=-1 y=8

，
則D的坐標(biāo)是：（-1，8）．
①若P（-4，y）為直角頂點(diǎn)時(shí)，OD的中點(diǎn)M為（-

1

2

，4）
∵M(jìn)P=

1

2

OD，
∴

(-4+ 1 2 )2+(y-4)2

=

1

2

(-1)2+82

則y-4=±2，∴y=6．（y=2舍去）
∴P（-4，6）；
②若D為直角頂點(diǎn)，則直線OD的斜率是-8，
∴PD的斜率是

1

8

．
則直線PD的解析式是：y=

1

8

x+

65

8

∴當(dāng)x=-4時(shí)，y=

61

8

，
∴P（-4，

61

8

）；
③O為直角頂點(diǎn)時(shí)OP⊥OD，
OP的解析式是：y=

1

8

x，當(dāng)x=-4時(shí)，y=-

1

2

，
∴P（-4，-

1

2

）
當(dāng)k=8時(shí)符合條件的點(diǎn)P為（-4，-6）或（-4，

61

8

）或（-4，

1

2

）．

（3）把△BCD沿著CD翻折，點(diǎn)B與OD上點(diǎn)E重合，DC平分∠BDO，
容易證明OC平分∠AOD，
又∵BD⊥AB，AO⊥AB，
∴AC=BC=EC．
∵∠BDC=∠ACO=90°-∠BCD，
∴Rt△AOC∽R(shí)t△BCD，
∴AO：BC=AC：BD，
∴BD=

BC•AC

OA

．
設(shè)C（m，n），BD=-

n2

m

，
D（m-

n2

m

，2n）．
∵C，D都在雙曲線y=-

8

x

上，
2n•（m-

n2

m

）=-8，
∴mn=-8，
∴

n2

m2

=

1

2

，∴m=-

2

n，
n²=4

2

．
∴S_{四邊形OCBD}=S_梯形ABDO-S_△AOC=2n[-

n2

m

+（-m）]÷2-4
=-

n3

m

-mn-4=mn•（-

n2

m2

）+8-4=8×

1

2

+4=8（定值）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的直角三角形，以及圖形的翻折，兩直線垂直的條件，正確利用C的坐標(biāo)表示出四邊形的面積是關(guān)鍵．