Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合，連接BE、EC．
試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：數(shù)量關(guān)系為：BE=EC，位置關(guān)系是：BE⊥EC；利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可證得：△EAB≌△EDC即可證明．
解答：數(shù)量關(guān)系為：BE=EC，位置關(guān)系是：BE⊥EC．
證明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一個(gè)銳角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中點(diǎn)，
∴AD=CD=AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中
，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，
∴BE⊥EC．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與應(yīng)用，證明線段相等的問(wèn)題一般的解決方法是轉(zhuǎn)化為證明三角形全等．