(1998•臺(tái)州)如圖,ABCD為正方形,E、F分別在BC、CD上,且△AEF為正三角形,四邊形A′B′C′D′為△AEF的內(nèi)接正方形,△A′E′F′為正方形A′B′C′D′的內(nèi)接正三角形.
(1)試猜想的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)求的值.

【答案】分析:(1)由于所有的正方形都相似,所有的等邊三角形也都相似,而相似三角形面積的比等于相似比的平方,所以只需比較的大小.
(2)由于正△AEF既是正方形ABCD的內(nèi)接正三角形,同時(shí)四邊形A′B′C′D′又為△AEF的內(nèi)接正方形,所以將AE作為中間量,求出A′B′:AB的值.
解答:解:(1)相等.
∵正方形ABCD和等邊三角形AEF都是軸對(duì)稱圖形,直線AC是它的公共對(duì)稱軸,
∴△ABE≌△ADF,
∴∠BAE=∠DAF,
又∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=90°,∠EAF=60°,
∴∠BAE=15°,
∴AE=,
同理,A′E′=
=,
∵所有的正方形都相似,所有的等邊三角形也都相似,而相似三角形面積的比等于相似比的平方,
==,
=;

(2)由(1)知△ABE≌△ADF,
∴BE=DF,
∴CE=CF,
設(shè)正方形ABCD的邊長是a,等邊三角形AEF邊長為x,
∵CE2+CF2=x2,∴CE=x,
∴BE=a-x,
∵x2=(a-x )2+a2,
∴x2+2ax-4a2=0,
舍去負(fù)根,得x=(-)a,
∴AE=(-)AB,
設(shè)正方形A′B′C′D′的邊長是y,由于△A′B′E≌△D′C′F,
∴B′E=C′F=(x-y),
在△A′B′E中,∠A′B′E=90°,∠B′A′E=30°,
∴B′E:A′B′=(x-y):y=tan30°=:3,
∴y=(2-3)x,
∴A′B′=(2-3)AE,
===9-5,
=(9-52=312-180
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了正方形與等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用.
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(1998•臺(tái)州)如圖,延長Rt△ABC斜邊AB到D點(diǎn),使BD=AB,連接CD,若cot∠BCD=3,則tanA=( )

A.
B.1
C.
D.

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(2)求的值.

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(1998•臺(tái)州)如圖,矩形ABCD的長、寬分別為5和3,將頂點(diǎn)C折過來,使它落在AB上的C′點(diǎn)(DE為折痕),那么,陰影部分的面積是   

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(1998•臺(tái)州)如圖,已知C是以AB為直徑的半圓上的一點(diǎn),AB=10,CD⊥AB于D點(diǎn),以AD、DB為直徑畫兩個(gè)半圓,EF是這兩個(gè)半圓的外公切線,E、F為切點(diǎn).
(1)求證:CD=EF;
(2)求證:四邊形EDFC是矩形;
(3)若DB=|m|,則m是使關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+m2+3=0的兩個(gè)實(shí)根的平方和為22的實(shí)數(shù)值,求矩形EDFC的面積.

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