Question

已知，如圖，在正方形ABCD中，O是對角線的交點，AF平分∠BAC，DH⊥AF于點H，交AC于點G，DH延長線交AB于點E
求證：．

Answer 1

證明：過B作BM∥AC交DE的延長線于M，
∵AF平分∠BAC，DH⊥AF，
∴∠EAH=∠GAH，∠AHE=∠AHG=90°，
∵AH=AH，
∴△AEH≌△AGH，
∴∠AEH=∠AGH，
∵BM∥AC，
∴∠M=∠AGH，
∵∠AEH=∠BEM，
∴∠BEM=∠M，
∴BM=BE，
∵正方形ABCD，
∴OB=OD，
∵BM∥AC，
∴DG=MG，
∴OG=BM=BE，
即：OG=BE．
分析：過B作BM∥AC交DE的延長線于M，由AF平分∠BAC，DH⊥AF證△AEH和△AGH全等，推出∠AEH和∠AGH相等，進一步推出∠BEM和∠M相等，得到BM=BE，根據(jù)三角形的中位線得到OG=BM，即可得到答案．
點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的中位線，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點，解此題的關(guān)鍵是正確作輔助線BM，證出BM=BE．題型較好，比較典型，綜合性強．