Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，E，D，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=4 ，求四邊形AEDF的周長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵E，D，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，

∴DE∥AF且DE= =AF，

∴四邊形AEDF為平行四邊形，

同理可得，DF∥AB且DF= ，

∵AB=AC，

∴DE=DF，

∴四邊形AEDF是菱形

（2）解：連接AD，

∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，BD=BC= ，

∴AE= = =4，

∵四邊形AEDF是菱形，

∴四邊形AEDF的周長為4×4=16．

【解析】（1）由AB=AC利用中位線的性質(zhì)可得DE=DF，四邊形AEDF為平行四邊形，由鄰邊相等的平行四邊形是菱形證得結(jié)論；（2）首先由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”得AD⊥BC，BD=BC= ，由銳角三角函數(shù)定義得AE，易得四邊形AEDF的周長．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能正確解答此題．