(2009•濰坊)在四邊形ABCD中,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=a,DC=b,BC=a+b,且a≤b.取AD的中點(diǎn)P,連接PB、PC.
(1)試判斷三角形PBC的形狀;
(2)在線段BC上,是否存在點(diǎn)M,使AM⊥MD?若存在,請(qǐng)求出BM的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:根據(jù)已知條件,得到四邊形ABCD為直角梯形或矩形.
(1)過點(diǎn)P作PQ⊥BC,易證PQ=BQ=QC,則△PQB與△PQC是全等的等腰直角三角形,因而△PBC是等腰直角三角形.
(2)判斷在線段BC上,是否存在點(diǎn)M,使AM⊥MD,利用相似三角形的性質(zhì)與判定得出即可.
解答:解:(1)在四邊形ABCD中,AB⊥BC,DC⊥BC,
∴AB∥DC.
又∵AB=a,DC=b,且a≤b,
∴四邊形ABCD為直角梯形(或矩形).
過點(diǎn)P作PQ⊥BC,垂足為Q,
∴PQ∥AB,
又∵點(diǎn)P是AD的中點(diǎn),
∴點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn),
又∵PQ=(AB+CD)=(a+b)=BC,
∴PQ=BQ=QC.
∴△PQB與△PQC是全等的等腰直角三角形.
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=90°,PB=PC,
即△PBC是等腰直角三角形.

(2)存在點(diǎn)M,使AM⊥MD.
理由是∵AB⊥BC,CD⊥BC,
∴∠B=∠C=90°,
當(dāng)=時(shí),△ABM∽△MCD,
∴∠BAM=∠DMC,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠AMB+∠DMC=180°-90°=90°,
∴∠AMD=90°,
此時(shí)AM⊥DM,
代入得:=,
整理得出:BM2-(a+b)BM+ab=0,
(BM-a)(BM-b)=0,
∴BM=b或BM=a,
綜合上述:在線段BC上,存在點(diǎn)M,使AM⊥MD,BM的長(zhǎng)是a或b.
點(diǎn)評(píng):根據(jù)BC=a+b,聯(lián)想到梯形的中位線定理,得到過點(diǎn)P作PQ⊥BC這條輔助線是解決本題的關(guān)鍵.
并且本題把判斷M點(diǎn)是否存在的問題轉(zhuǎn)化成了探討圓與直線的交點(diǎn)的問題.
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