Question

在銳角三角形ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是        。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C。

∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC�！郞E∥AB。

（2）證明：過點O作OF⊥AB于點F，過點O作OG∥BC交AB于點G。

∵AB=DC，∴∠B=∠C。

∴OC=OE，∴∠OEC=∠C。∴∠OEC=∠B�！郞E∥GB。

又∵EH⊥AB，∴FO∥HE�！嗨倪呅蜲EHF是平行四邊形�！郞F=EH。

又∵EH=CD，∴OF=CD，即OF是⊙O的半徑。

∴AB是⊙O的切線。

（3）連接DE。

∵CD是直徑，∴∠DEC=90°。∴∠DEC=∠EHB。

又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC�！�。

∵BE=4BH，設BH=k，則BE=4k，

，

∴CD=2EH=2�！�。

【解析】（1）判斷出∠B=∠OEC，根據(jù)同位角相等得出OE∥AB。

（2）過點O作OF⊥AB于點F，過點O作OG∥BC交AB于點G，證明OF是⊙O的半徑即可。

（3）求出△EHB∽△DEC，根據(jù)相似三角形的性質和勾股定理解答。