如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證:∠BCA=∠BAD;
(2)求DE的長(zhǎng);
(3)求證:BE是⊙O的切線。
解:(1)證明:∵BD=BA,∴∠BDA=∠BAD。
∵∠BCA=∠BDA(圓周角定理),
∴∠BCA=∠BAD。
(2)∵∠BDE=∠CAB(圓周角定理),∠BED=∠CBA=90°,
∴△BED∽△CBA,∴。
∵BD=BA =12,BC=5,∴根據(jù)勾股定理得:AC=13。
∴,解得:
。
(3)證明:連接OB,OD,
在△ABO和△DBO中,∵,
∴△ABO≌△DBO(SSS)。
∴∠DBO=∠ABO。
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC,∴∠DBO=∠BDC�!郞B∥ED。
∵BE⊥ED,∴EB⊥BO�!郞B⊥BE。
∵OB是⊙O的半徑,∴BE是⊙O的切線。
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)BD=BA得出∠BDA=∠BAD,再由圓周角定理∠BCA=∠BDA即可得出結(jié)論。
(2)判斷△BED∽△CBA,利用對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可求出DE的長(zhǎng)度。
(3)連接OB,OD,證明△ABO≌△DBO,推出OB∥DE,繼而判斷OB⊥DE,可得出結(jié)論。
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