Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)A（0，3），與x軸交于（1，0）（5，0）兩點(diǎn)，若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)F，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，則使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)分別是：E    ，F(xiàn)    ．

Answer 1

【答案】分析：作出草圖，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)求出對(duì)稱軸為直線x=3，再求出點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接A′M′，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，A′M′的長(zhǎng)度為點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短長(zhǎng)度，然后利用待定系數(shù)法求出直線A′M′的解析式，令y=0求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，令x=3求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可．
解答：解：如圖，∵拋物線與x軸交于（1，0）（5，0）兩點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x==3，
∴點(diǎn)A（0，3）關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)A′為（6，3），
又∵OA的中點(diǎn)M為（0，），
∴點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′為（0，-），
連接A′M′與x軸的交點(diǎn)、與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)E、F，
設(shè)直線A′M′的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線A′M′的解析式為y=x-，
令y=0，則x-=0，
解得x=2，
令x=3，則y=×3-=，
所以，點(diǎn)E（2，0），F(xiàn)（3，）．
故答案為：E（2，0）；（3，）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線的對(duì)稱性，利用軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，找出點(diǎn)A、M的對(duì)稱點(diǎn)，確定出總路徑最短時(shí)的點(diǎn)E、F的位置是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．