Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過D點(diǎn)作EF∥BC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：EF為⊙O的切線；

(2)若sin∠ABC＝，CF＝1，求⊙O的半徑及EF的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)連結(jié)OD 　　∵AB是直經(jīng) 　　∴∠ACB＝90° 　　∵EF∥BC 　　∴∠AFE＝∠ACB＝90° 　　∵OA＝OD 　　∴∠OAD＝∠ODA 　　又∵AD平分∠BAC 　　∴∠OAD＝∠DAC 　　∴∠ODA＝∠DAC 　　∴OD∥AF 　　∴∠ODE＝∠AFD＝90° 　　即OD⊥EF 　　又∵EF過點(diǎn)D 　　∴EF是⊙O的切線 　　解：(2)連結(jié)BD，CD 　　∵AB是直經(jīng) 　　∴∠ADB＝90° 　　∴∠ADB＝∠AFD 　　∵AD平分∠BAC 　　∴∠OAD＝∠DAC 　　∴BD＝CD 　　設(shè)BD＝CD＝a 　　又∵EF是⊙O的切線 　　∴∠CDF＝∠DAC 　　∴∠CDF＝∠OAD＝∠DAC 　　∴△CDF≈△ABD≈△ADF 　　∴　 　　∵sin∠ABC＝＝ 　　∴設(shè)AC＝4x，AB＝5x 　　∴　 　　∴在Rt△CDF中 　　 　　又∵ 　　∴　x＝2 　　∴AB＝5x＝10　AC＝4x＝8 　　∵EF∥BC 　　∴△ABC≈△AEF 　　∴　　 　　∴在Rt△AEF中