如圖,AB是⊙O的弦,D為OA半徑的中點(diǎn),過(guò)D作CD⊥OA交弦AB于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)F,且CE=CB.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)連接AF,BF,求∠ABF的度數(shù);
(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半徑.
(1)證明見(jiàn)解析(2)30°(3)
【解析】解:(1)證明:連接OB,
∵OB=OA,CE=CB,
∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC。
又∵CD⊥OA,
∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。
∴∠OBA+∠ABC=90°!郞B⊥BC。
∴BC是⊙O的切線。
(2)連接OF,AF,BF,
∵DA=DO,CD⊥OA,
∴△OAF是等邊三角形。
∴∠AOF=60°。
∴∠ABF=∠AOF=30°。
(3)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G,由CE=CB,
∴EG=BE=5。
易證Rt△ADE∽R(shí)t△CGE,
∴sin∠ECG=sin∠A=,
∴。
∴。
又∵CD=15,CE=13,∴DE=2,
由Rt△ADE∽R(shí)t△CGE得,即
,解得
。
∴⊙O的半徑為2AD=。
(1)連接OB,有圓的半徑相等和已知條件證明∠OBC=90°即可證明BC是⊙O的切線。
(2)連接OF,AF,BF,首先證明△OAF是等邊三角形,再利用圓周角定理:同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半即可求出∠ABF的度數(shù)。
(3)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G,由CE=CB,可求出EG=BE=5,由Rt△ADE∽R(shí)t△CGE和勾股定理求出DE=2,由Rt△ADE∽R(shí)t△CGE求出AD的長(zhǎng),從而求出⊙O的半徑。
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