Question

【題目】如圖，拋物線y=ax+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-1,0），B（4,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OC=3OA，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)D，連接PC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將△CPD沿直線CP翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，試問(wèn)四邊形CDPQ是否能成為菱形？如果能，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+x+3,；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）關(guān)鍵已知點(diǎn)求解析式即可（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，關(guān)鍵菱形的證明方法去找出條件證明.

解：（1）由OC=3OA，得C（0,3），將A（-1,0），B（4,0），C（0,3）代入y=ax+bx+c 中，得：解得 ，故拋物線的解析式為：y=x+x+3,；

（2）存在這樣的Q點(diǎn)，使得四邊形CDPQ是菱形，如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時(shí)，四邊形CDPQ是菱形，理由是：由軸對(duì)稱的性質(zhì)知：CD=CQ，PQ=PD,∠PCQ=∠PCD，當(dāng)點(diǎn)Q落在y軸上時(shí)，CQ//PD,∴ ∠PCQ=∠CPD，∴∠PCD=∠CPD，∴CD=PD, ∴CD=DP=PQ=QC,∴四邊形CDPQ是菱形，過(guò)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，設(shè)P（n，- n+ n+3），

設(shè)一次函數(shù)解析式為B（4,0），C（0,3）帶入求得一次函數(shù)解析式為：

則D（n，- n+3），

在Rt△CGD中，CD==

而 PD==，∵PD=CD，∴- n+3n=n…①或- n+3n=-n…②， 解方程①得：n=或n=0（不符合條件，舍去），解方程②得：n= 或n=0，（不符合條件，舍去），當(dāng)n= 時(shí)，P（， ），如圖1，當(dāng)n= 時(shí)，P（，- ）如圖2，綜上所述，存在這樣的Q點(diǎn)，使得四邊形CDPQ是菱形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（， ）或（，- ）.