Question

（11·漳州）（滿分13分）如圖，直線y＝－2x＋2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，將△OAB繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△OCD．

（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是(_   ▲   ，_  ▲   )，

點(diǎn)D的坐標(biāo)是(_   ▲   ，_  ▲   )；

（2）設(shè)直線CD與AB交于點(diǎn)M，求線段BM的長；

（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，

請求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0，1)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(－2，0)                      ………………4分

（2）方法一：由（1）可知CD＝ ＝，BC＝1

又∠1＝∠5，∠4＝∠3

∴△BMC∽△DOC                                    ………………6分

∴＝  即＝

∴BM＝                                          ………………8分

方法二：設(shè)直線CD的解析式為y＝kx＋b

由（1）得

解得

∴直線CD的解析式為y＝ x＋1

又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO

∴△BMC∽△DOC                                    ………………6分

∴＝  即＝

∴BM＝                                          ………………8分

∵  ∴  

∴M的坐標(biāo)為(，)                                    ………………6分

過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，則ME＝，BE＝

∴BM＝ ＝                             ………………8分

（3）存在                                                        ………………9分

分兩種情況討論：

① 以BM為腰時

∵BM＝，又點(diǎn)P在y軸上，且BP＝BM

此時滿足條件的點(diǎn)P有兩個，它們是P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－) ……………11分

過點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，∵∠BMC＝90°，

則△BME∽△BCM

∴＝

∴BE＝＝

又∵BM＝BP

∴PE＝BE＝

∴BP＝

∴OP＝2－＝

此時滿足條件的點(diǎn)P有一個，它是P₃ (0，)                       ……………12分

② 以BM為底時，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點(diǎn)P、F，

由（2）得∠BMC＝90°，

∴PF∥CM

∵F是BM的中點(diǎn)，

∴BP＝BC＝

∴OP＝

此時滿足條件的點(diǎn)P有一個，它是P₄ (0，) 

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有四個，它們是：P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)、P₃ (0，)、P₄ (0，)                                                     ……………13分

 

解析:略