Question

【題目】如圖，已知直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)為直線下方的拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求的面積及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且位于其對稱軸右側(cè)，當(dāng)與相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2），；（3）或或或

【解析】

（1）將點(diǎn)代入中求出點(diǎn)B坐標(biāo)，將點(diǎn)A，B，C坐標(biāo)代入中求解即可；

（2）如圖所示作輔助線，設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)E，表達(dá)出EP的長度，將△ABP分割成兩個三角形進(jìn)行計(jì)算，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可；

（3）通過坐標(biāo)得出△MAD是等腰直角三角形，從而判斷也是等腰直角三角形，再對進(jìn)行分類討論．

解：（1）將點(diǎn)代入中得，

∴點(diǎn)，

將點(diǎn)、、代入中得

，解得：，

∴

（2）如圖①，過點(diǎn)P作EP⊥x軸，交AB于點(diǎn)E，則設(shè)點(diǎn)P，點(diǎn)E，

∴EP=，

∴

∵，開口向下，

∴當(dāng)時(shí)，最大，

此時(shí)P

（3）在中，令y=0得，

解得，

∴點(diǎn)D（3，0）

又∵M（1，-2）

∴AD=4，AM=DM=，

∵

∴△MAD是等腰直角三角形，

若與相似，則也是等腰直角三角形，

有以下情況：

①當(dāng)∠MQN=90°，且點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，如下圖所示，滿足要求，此時(shí)N（3，0）

②當(dāng)∠MQN=90°，點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，如下圖所示，作NF⊥x軸，ME⊥于x軸，

則△NFQ≌△QEM（AAS），

∴EM=FQ=2，EQ=NF

設(shè) （ ），則

∴EQ=t+2-1=t+1

∴

解得：，（舍去），

∴N

③當(dāng)∠QMN=90°時(shí)， △與重合，N（3，0），

④當(dāng)∠QNM=90°時(shí)，且點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，如圖所示作NH⊥x軸，NF⊥直線x=1

則△QHN≌△MFN，

∴FN=NH

設(shè)，則,

∴

解得：（舍去）

此時(shí)N

⑤當(dāng)∠QNM=90°時(shí)，且點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，如圖所示作NP⊥x軸，NG⊥直線x=1，

則△QPN≌△NGM

∴PN=GN

設(shè)，則, ，

∴

解得（舍去）

此時(shí)N

綜上所述，或或或．