Question

如圖，直線y=-x+20與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始在線段AO上以每秒3個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)．動(dòng)直線EF從x軸開始以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度向上平行移動(dòng)（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于E、F點(diǎn)．連接FP，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)直線EF同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=1秒時(shí)，求梯形OPFE的面積．
（2）t為何值時(shí)，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？
（3）設(shè)t的值分別取t₁、t₂時(shí)（t₁≠t₂），所對(duì)應(yīng)的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個(gè)三角形是否相似，請(qǐng)證明你的判斷．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線的性質(zhì)，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A的移動(dòng)規(guī)律，得到AP的長(zhǎng)，從而求出OP的長(zhǎng)；
又因?yàn)镋F=BE，用OB的長(zhǎng)減去OE的長(zhǎng)即可求出EF的長(zhǎng)；從而利用梯形面積公式求出梯形OPFE面積．
（2）設(shè)OE=t，AP=3t，利用梯形面積公式，將梯形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)表達(dá)式，求二次函數(shù)的最大值即可；
（3）作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形．求出三角形各邊的長(zhǎng)度表達(dá)式，計(jì)算出對(duì)應(yīng)邊的比值，加上一個(gè)夾角相等，即可得到△AF₁P₁∽△AF₂P₂．
解答：解：設(shè)梯形OPFE的面積為S．（1）對(duì)于直線y=-x+20，當(dāng)x=0時(shí)，y=20；當(dāng)y=0時(shí)，x=20，
故A（20，0），B（0，20）；
∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°．
當(dāng)t=1時(shí)，OE=1，AP=3，
∴OP=17，EF=BE=19．
∴S=（OP+EF）•OE=×（17+19）=18．

（2）OE=t，AP=3t，
∴OP=20-3t，EF=BE=20-t．
∴S=（OP+EF）•OE=（20-3t+20-t）•t=-2t²+20t=-2（t-5）²+50．
∴當(dāng)t=5（在0＜t＜范圍內(nèi)）時(shí)，S_最大值=50．

（3）作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形．
∴FD=OE=t，AF=FD=t．
又AP=3t，
當(dāng)t=t₁時(shí)，AF₁=t₁，AP₁=3t₁；當(dāng)t=t₂時(shí)，AF₂=t₂，AP₂=3t₂；
∴，又∠A=∠A，
∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，同時(shí)結(jié)合了動(dòng)點(diǎn)問題和二次函數(shù)的最值，綜合性較強(qiáng)，是一道好題．