如圖,已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,8).
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離?如果存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;
(3)將拋物線沿其對稱軸平移,使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn).試探究:拋物線向上最多可平移多少個單位長度?
‘
解:拋物線與X軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與Y軸交于點(diǎn)C(0,8),故可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x-4)
8=a(0+2)(0-4)
a=-1
拋物線的解析式為:y=-(x+2)(x-4)=-(x^2-2x-8)=-(x-1)^2+9
頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(1,9)
(2)
CD方程為:y-8=(8-9)/(0-1)(x-0) x-y+8=0
OB的垂直平分線方程為x=2
設(shè)存在一點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,y0)滿足條件,則有:
√(4+y0^2)=|2-y0+8|/√2
2(4+y0^2)=y0^2-20y0+100
y0^2+20y0-92=0
y0=-10±8√3
故存在所求點(diǎn)P(2,-10+8√3)或(2,-10-8√3)
(3)
過點(diǎn)B作X軸的垂線方程x=4,交直線CD于點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,12),將拋物線沿其對稱軸平移,使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)�?稍O(shè)平移后拋物線方程為:y=-(x-1)^2+9+y1
當(dāng)向上平移后經(jīng)過E時(shí),E坐標(biāo)(-8,0)滿足拋物線方程,有:0=-(-8-1)^2+9+y1 y1=72
當(dāng)向下平移后與EF相切時(shí),EF的方程為:y=(12-0)/(4+8)(x+8) y=x+8 代入拋物線方程有:
x+8=-(x-1)^2+9+y1
x^2-x-y1=0
此方程有兩重根,故判別式=0,即:1+4y1=0 y1=-1/4
故拋物線向上最多可平移72個單位長度,向下最多平移1/4個單位長度。
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