Question

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,8)．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線CD的距離等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

（3）將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線向上最多可平移多少個單位長度？

‘

Answer 1

解：拋物線與X軸交于點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),與Y軸交于點(diǎn)C(0,8），故可設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(x-4)

8=a(0+2)(0-4)

a=-1

拋物線的解析式為：y=-(x+2)(x-4)=-(x^2-2x-8)=-(x-1)^2+9

頂點(diǎn)D的坐標(biāo)(1,9)

(2)

CD方程為：y-8=(8-9)/(0-1)(x-0)   x-y+8=0

OB的垂直平分線方程為x=2

設(shè)存在一點(diǎn)P坐標(biāo)為（2,y0)滿足條件，則有：

√(4+y0^2)=|2-y0+8|/√2

2(4+y0^2)=y0^2-20y0+100

y0^2+20y0-92=0

y0=-10±8√3

  故存在所求點(diǎn)P（2，-10+8√3）或（2，-10-8√3）

 (3)

過點(diǎn)B作X軸的垂線方程x=4，交直線CD于點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，12），將拋物線沿其對稱軸平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)�？稍O(shè)平移后拋物線方程為：y=-(x-1)^2+9+y1

當(dāng)向上平移后經(jīng)過E時(shí)，E坐標(biāo)（-8,0）滿足拋物線方程，有：0=-(-8-1)^2+9+y1  y1=72

當(dāng)向下平移后與EF相切時(shí)，EF的方程為：y=(12-0)/(4+8)(x+8)    y=x+8 代入拋物線方程有：

x+8=-(x-1)^2+9+y1

x^2-x-y1=0

此方程有兩重根，故判別式＝0，即：1+4y1=0   y1=-1/4

故拋物線向上最多可平移72個單位長度，向下最多平移1/4個單位長度。