Question

如圖，△ABD和△BDC都是邊長為1的等邊三角形，它們有公共的底邊BD．
（1）以圖1中的某個點為旋轉中心，旋轉△ABD，能使△ABD與△BDC重合，則滿足題意的點為

點B或點D或BD的中點（答案不唯一）

；（寫出一個即可）
（2）如圖2，將△BDC沿射線BD方向平移到△B₁D₁C₁的位置，則四邊形ABC₁D₁是平行四邊形嗎，為什么？
（3）在△BDC移動過程中，四邊形ABC₁D₁可能是矩形嗎？如果可能，直接寫出點B移動的距離；如果不可能，請說明理由．（圖3供操作時使用）

Answer 1

分析：（1）利用旋轉的性質得出以點B或點D或BD的中點為旋轉中心，旋轉△ABD，能使△ABD與△BDC重合；
（2）利用平移的性質以及平行四邊形的判定得出即可；
（3）根據等邊三角形的性質得出AD=BD=DD₁，∠ADB=60°，進而得出∠BAD=90°，再利用矩形的判定得出即可．

解答：解：（1）以點B或點D或BD的中點為旋轉中心，旋轉△ABD，能使△ABD與△BDC重合；

（2）四邊形ABC₁D₁是平行四邊形；
理由：四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，由△BDC沿射線BD方向平移到△B₁D₁C₁的位置得AB∥C₁D₁
又由等邊△ABD和△BDC有公共的底邊BD得AB=C₁D₁
所以四邊形ABC₁D₁是平行四邊形；

（3）當移動距離BB₁=1時，四邊形ABC₁D₁是矩形．
理由：連接BC₁，AD₁，
∵△ABD，△BDC都是邊長為1的等邊三角形，
∴AD=BD=DD₁，∠ADB=60°，
∴∠DAD₁=∠DD₁A=30°，
∴∠BAD=60°+30°=90°，
∵由（2）可得出四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，
∴平行四邊形ABC₁D₁是矩形．
故答案為：點B或點D或BD的中點（答案不唯一）．

點評：此題主要考查了矩形的判定和等邊三角形的性質和平行四邊形的判定以及旋轉的性質，熟練掌握相關的定理是解題關鍵．