Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）題中的拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí)，滿足S_△PAB=8，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)（1）題中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最��？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-1，0），B（3，0），
∴

(-1)2-b+c=0 32+3b+c=0

解得

b=-2 c=-3

．
∴所求解析式為y=x²-2x-3．

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由題意：S_△PAB=

1

2

×4|y|=8，
∴|y|=4，
∴y=±4．
當(dāng)y=4時(shí)，x²-2x-3=4，
∴x₁=2

2

+1，x₂=-2

2

+1；
當(dāng)y=-4時(shí)，x²-2x-3=-4，∴x=1，
∴滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，
即（2

2

+1，4），（-2

2

+1，4），（1，-4）．

（3）在拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使△QAC的周長(zhǎng)最�。�
∵AC長(zhǎng)為定值，
∴要使△QAC的周長(zhǎng)最小，只需QA+QC最小，
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)是（3，0），
∴Q是直線BC與對(duì)稱軸直線x=1的交點(diǎn)，
設(shè)過點(diǎn)B，C的直線的解析式y(tǒng)=kx-3，把B（3，0）代入，
∴3k-3=0，
∴k=1，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
把x=1代入上式，
∴y=-2，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）．