Question

（2004•宜昌）如圖，已知點(diǎn)A（0，1），C（4，3），E（，），P是以AC為對(duì)角線的矩形ABCD內(nèi)部（不在各邊上）的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D在y軸上，拋物線y=ax²+bx+1以P為頂點(diǎn)．
（1）說(shuō)明點(diǎn)A，C，E在一條直線上；
（2）能否判斷拋物線y=ax²+bx+1的開(kāi)口方向？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)拋物線y=ax²+bx+1與x軸有交點(diǎn)F、G（F在G的左側(cè)），△GAO與△FAO的面積差為3，且這條拋物線與線段AE有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，這時(shí)能確定a、b的值嗎？若能，請(qǐng)求出a，b的值；若不能，請(qǐng)確定a、b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）說(shuō)明點(diǎn)A、C、E在一條直線上，只要求出過(guò)A、C的直線的解析式，然后判斷E是否滿足函數(shù)的解析式就可以；
（2）由于動(dòng)點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，因而點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，而點(diǎn)A與點(diǎn)P都在拋物線上，且P為頂點(diǎn)，則拋物線有最高點(diǎn)，拋物線的開(kāi)口向下；
（3）已知△GAO與△FAO的面積差為3，而這兩個(gè)三角形的高相同是OA的長(zhǎng)，等于1，因而就可以得到OG與OF的長(zhǎng)度的一個(gè)關(guān)系式．拋物線y=ax²-6ax+1的頂點(diǎn)可以用a表示出來(lái)，頂點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，即可以求出a的取值范圍．
解答：解：（1）由題意，A（0，1）、C（4，3）兩點(diǎn)確定的直線解析式為：y=x+1（1分）
將點(diǎn)E的坐標(biāo)（，），代入y=x+1中，左邊=，右邊=×+1=．
∵左邊=右邊
∴點(diǎn)E在直線y=x+1上，
即點(diǎn)A、C、E在一條直線上；（2分）

（2）解法一：由于動(dòng)點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)大于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，而點(diǎn)A與點(diǎn)P都在拋物線上，且P為頂點(diǎn)，
∴這條拋物線有最高點(diǎn)，拋物線的開(kāi)口向下．（3分）
解法二：
∵拋物線y=ax²+bx+1的頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，且P在矩形ABCD的內(nèi)部，
∴1＜＜3，由1＜1-得-＞0．
∴a＜0．
∴拋物線開(kāi)口向下；（3分）

（3）連接GA、FA．
∵S_△GAO-S_△FAO=3
∴GO•AO-FO•AO=3．
∵OA=1，
∴GO-FO=6．
設(shè)F（x₁，0），G（x₂，0），
則x₁、x₂是方程ax²+bx+1=0的兩個(gè)根，且x₁＜x₂，
又∵a＜0
∴x₁•x₂=＜0，
∴x₁＜0＜x₂
∴GO=x₂、FO=-x₁
∴x₂-（-x₁）=6，即x₂+x₁=6
∵x₂+x₁=∴=6
∴b=-6a（5分）
∴拋物線的解析式為：y=ax²-6ax+1，其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1-9a）
∵頂點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部，
∴1＜1-9a＜3，
∴-＜a＜0①（6分）
由方程組，
得：ax²-（6a+）x=0
∴x=0或x==6+
當(dāng)x=0時(shí)，即拋物線與線段AE交于點(diǎn)A，而這條拋物線與線段AE有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
則有：0＜6+≤，
解得：-a＜-②（8分）
綜合①②，得-＜a＜-（9分）
∵b=-6a，
∴＜b＜．（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，以及一元二次方程的求解和韋達(dá)定理．難度較大．