Question

如圖，已知二次函數(shù)y=-

1

2

x²+4x+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，并且與函數(shù)y=

1

2

x的圖象交于O、A兩點(diǎn)．
（1）求c的值；
（2）求A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若一條平行于y軸的直線(xiàn)與線(xiàn)段OA交于點(diǎn)F，與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E，求線(xiàn)段EF的最大長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）二次函數(shù)y=-

1

2

x²+4x+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，把（0，0）代入解析式就可以求出c的值．
（2）解拋物線(xiàn)的解析式與函數(shù)y=

1

2

x的解析式組成的方程組就可以求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）直線(xiàn)OA的解析式可以利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，設(shè)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x，把x代入拋物線(xiàn)的解析式，以及直線(xiàn)OA的解析式，就可以求出兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的差就是EF的長(zhǎng)，EF的長(zhǎng)可以表示成x的函數(shù)．可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答：解：（1）（0，0）代入y=-

1

2

x²+4x+c
解得：c=0．

（2）根據(jù)題意得到

y=- 1 2 x2+4x+c y= 1 2 x

，
解得

x=7 y= 7 2

，
則A（7，

7

2

）．

（3）設(shè)此直線(xiàn)為x-a，則E（a，-

a2

2

+4a），F(xiàn)（a，

a

2

），
∴EF=-

1

2

a²+4a-

1

2

a=-

1

2

a²+

7

2

a
=-

1

2

（a-

7

2

）²+

49

8

∴當(dāng)a=

7

2

時(shí)，EF最大長(zhǎng)度為

49

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及函數(shù)交點(diǎn)的求法，最值問(wèn)題一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．