Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（6，4），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段AC運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿線段BO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q到達(dá)O點(diǎn)時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒（t＞0）．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)間t＝　 秒時(shí)，四邊形APQO是矩形；

（2）如圖2，在P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)PQ＝5時(shí)，時(shí)間t等于　 秒；

（3）如圖3，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到圖中位置時(shí)，將矩形沿PQ折疊，點(diǎn)A，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D，E，連接OP，OE，此時(shí)∠POE＝45°，連接PE，求直線OE的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）t＝2；（2）1或3；（3）y＝x．

【解析】

先根據(jù)題意用t表示AP、BQ、PC、OQ的長(zhǎng)．

（1）由四邊形APQO是矩形可得AP＝OQ，列得方程即可求出t．

（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PH，構(gòu)造直角△PQH，求得HQ的值．由點(diǎn)H、Q位置不同分兩種情況討論用t表示HQ，即列得方程求出t．根據(jù)t的取值范圍考慮t的合理性．

（3）由軸對(duì)稱性質(zhì)，對(duì)稱軸PQ垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線OC，得OP＝PE，QE＝OQ．由∠POE＝45°可得△OPE是等腰直角三角形，∠OPE＝90°，即點(diǎn)E在矩形AOBC內(nèi)部，無(wú)須分類討論．要求點(diǎn)E坐標(biāo)故過(guò)點(diǎn)E作x軸垂線MN，易證△MPE≌△AOP，由對(duì)應(yīng)邊相等可用t表示EN，QN．在直角△ENQ中利用勾股定理為等量關(guān)系列方程即求出t．

∵矩形AOBC中，C（6，4）

∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4

依題意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）

∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t

（1）∵四邊形APQO是矩形

∴AP＝OQ

∴t＝6﹣2t

解得：t＝2

故答案為：2．

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H

∴四邊形APHO是矩形

∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°

∵PQ＝5

∴HQ＝

①如圖1，若點(diǎn)H在點(diǎn)Q左側(cè)，則HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t

∴6﹣3t＝3

解得：t＝1

②如圖2，若點(diǎn)H在點(diǎn)Q右側(cè)，則HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6

∴3t﹣6＝3

解得：t＝3

故答案為：1或3．

（3）過(guò)點(diǎn)E作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M

∴四邊形AMNO是矩形

∴MN＝OA＝4，ON＝AM

∵矩形沿PQ折疊，點(diǎn)A，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D，E

∴PQ垂直平分OE

∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE

∵∠POE＝45°

∴∠PEO＝∠POE＝45°

∴∠OPE＝90°，點(diǎn)E在矩形AOBC內(nèi)部

∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°

∴∠MPE＝∠AOP

在△MPE與△AOP中

∴△MPE≌△AOP（AAS）

∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t

∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t

∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2

∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2

∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2

解得：t1＝﹣2（舍去），t2＝

∴AM＝+4＝，EN＝4﹣＝

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）

∴直線OE的函數(shù)表達(dá)式為y＝x．