Question

已知二次函數(shù)y＝mx²＋nx＋p圖象的頂點橫坐標是2，與x軸交于A(x_1,0)，B(x_2,0)，x₁<0<x₂，與y軸交于點C，O為坐標原點，tan∠CAO－tan∠CBO＝1.

(1)求證：n＋4m＝0；

(2)求m，n的值；

(3)當p>0且二次函數(shù)圖象與直線y＝x＋3僅有一個交點時，求二次函數(shù)的最大值．

Answer 1

 (1)證明：∵二次函數(shù)y＝mx²＋nx＋p圖象的頂點橫坐標是2，

∴拋物線的對稱軸為x＝2，即－＝2，

化簡，得n＋4m＝0.

(2)解：∵二次函數(shù)y＝mx²＋nx＋p與x軸交于A(x_1,0)，B(x_2,0)，x₁＜0＜x₂，

∴OA＝－x₁，OB＝x₂，x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝.

令x＝0，得y＝p，∴C(0，p)．∴OC＝|p|.

由三角函數(shù)定義，得tan∠CAO＝＝－，tan∠CBO＝＝.

∵tan∠CAO－tan∠CBO＝1，即－－＝1.

化簡，得＝.

將x₁＋x₂＝－，x₁·x₂＝代入，得化簡，得⇒n＝＝±1.

由(1)知n＋4m＝0，

∴當n＝1時，m＝－；當n＝－1時，m＝.

∴m，n的值為：m＝，n＝－1(此時拋物線開口向上)或m＝－，n＝1(此時拋物線開口向下)．

(3)解：由(2)知，當p＞0時，n＝1，m＝－，

∴拋物線解析式為：y＝－x²＋x＋p.

聯(lián)立拋物線y＝－x²＋x＋p與直線y＝x＋3解析式得到－x²＋x＋p＝x＋3，

化簡，得x²－4(p－3)＝0.

∵二次函數(shù)圖象與直線y＝x＋3僅有一個交點，

∴一元二次方程根的判別式等于0，

即Δ＝0²＋16(p－3)＝0，解得p＝3.

∴y＝－x²＋x＋3＝－(x－2)²＋4.

當x＝2時，二次函數(shù)有最大值，最大值為4.