Question

我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)：反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形.你可以利用這一結(jié)論解決問(wèn)題.

如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是：將軸所在的直線繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度角后的圖形.若它與反比例函數(shù)的圖象分別交于第一、三象限的點(diǎn)、，已知點(diǎn)、.

（1）直接判斷并填寫(xiě)：不論α取何值，四邊形的形狀一定是           ;

（2）①當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，四邊形是矩形，試求、α、和有值；

②觀察猜想：對(duì)①中的值，能使四邊形為矩形的點(diǎn)共有幾個(gè)？(不必說(shuō)理)

（3）試探究：四邊形能不能是菱形？若能, 直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo), 若不能, 說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）平行四邊形      

（2）①∵點(diǎn)在的圖象上，∴

∴

過(guò)作，則

在中，

α=30°        ∴

又∵點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)B、D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)    

∴OB=OD=    

∵四邊形為矩形，且

∴∴；       

②能使四邊形為矩形的點(diǎn)B共有2個(gè)；  

（3）四邊形不能是菱形.   

法一：∵點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、

∴四邊形的對(duì)角線在軸上.

又∵點(diǎn)、分別是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)在第一、三象限的交點(diǎn).

∴對(duì)角線與不可能垂直.

∴四邊形不能是菱形

法二：若四邊形ABCD為菱形，則對(duì)角線AC⊥BD，且AC與BD互相平分，

因?yàn)辄c(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-m，0）、（m，0）

所以點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，且AC在x軸上.

所以BD應(yīng)在y軸上，這與“點(diǎn)B、D分別在第一、三象限”矛盾，

所以四邊形ABCD不可能為菱形.