如圖,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB=6,C為OB上一點(diǎn),射線(xiàn)CD⊥OB交AB于點(diǎn)D,OC=2.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CD方向運(yùn)動(dòng),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)到點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q也隨之停止.過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E,PF⊥OB于點(diǎn)F,得到矩形PEOF.以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角三角形QMN,斜邊MN∥OB,且MN=QC.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:秒).
(1)求t=1時(shí)FC的長(zhǎng)度.
(2)求MN=PF時(shí)t的值.
(3)當(dāng)△QMN和矩形PEOF有重疊部分時(shí),求重疊(陰影)部分圖形面積S與t的函數(shù)關(guān)系式.
(4)直接寫(xiě)出△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的值.

【答案】分析:(1)根據(jù)等腰直角三角形,可得,OF=EP=t,再將t=1代入求出FC的長(zhǎng)度;
(2)根據(jù)MN=PF,可得關(guān)于t的方程6-t=2t,解方程即可求解;
(3)分三種情況:求出當(dāng)1≤t≤2時(shí);當(dāng)2<t≤時(shí);當(dāng)<t≤3時(shí);求出重疊(陰影)部分圖形面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)分M在OE上;N在PF上兩種情況討論求得△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的值.
解答:解:(1)根據(jù)題意,△AOB、△AEP都是等腰直角三角形.
,OF=EP=t,
∴當(dāng)t=1時(shí),F(xiàn)C=1;

(2)∵AP=t,AE=t,PF=OE=6-t
MN=QC=2t
∴6-t=2t
解得t=2.
故當(dāng)t=2時(shí),MN=PF;

(3)當(dāng)1≤t≤2時(shí),S=2t2-4t+2;
當(dāng)2<t≤時(shí),S=-t2+30t-32;
當(dāng)<t≤3時(shí),S=-2t2+6t;

(4)設(shè)經(jīng)過(guò)t秒△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn),即點(diǎn)M在OA上,
當(dāng)點(diǎn)P在AD的左側(cè)時(shí),設(shè)經(jīng)過(guò)t秒△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn),
∵AP=t,∠A=45°,PE⊥AB,
∴PE=t,CQ=2t,
∵M(jìn)N=CQ,△MNQ是等腰直角三角形,C(2,0)
∴t=2時(shí),△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)點(diǎn)P在AD的右側(cè)時(shí),設(shè)經(jīng)過(guò)t秒△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn),
此時(shí),PE=t,6-t=2t-2,解得t=,
∴△QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t=2或
點(diǎn)評(píng):考查了相似形綜合題,涉及的知識(shí)有等腰直角三角形的性質(zhì),圖形的面積計(jì)算,函數(shù)思想,方程思想,分類(lèi)思想的運(yùn)用,有一定的難度.
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精英家教網(wǎng)已知:如圖,在△AOB中,OA⊥OB,OC⊥AB于C,OB=4
5
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5
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(1)若C、D恰好是邊AO,OB的中點(diǎn),求矩形CDEF的面積;
(2)若tan∠CDO=
43
,求矩形CDEF面積的最大值.

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4
3
,則矩形CDEF面積的最大值s=
100
7
100
7

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