Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M，N從點C同時出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設(shè)移動時間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）當(dāng)t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根據(jù)勾股定理，得AB= 。（1）以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況：①當(dāng)△AMP∽△ABC時， ，即 ，解得 ； ②當(dāng)△APM∽△ABC時， ，即 ，解得t=0（不合題意，舍去）。
綜上所述，當(dāng) 時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似
（2）解：存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．
理由如下：假設(shè)存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值。如圖，過點P作PH⊥BC于點H．則PH∥AC

∴ ，即 。
∴ ∴
∵ ＞0，
∴S有最小值。當(dāng)t= 時，S最小值= ． 答：當(dāng)t= 時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是
【解析】（1）根據(jù)△AMP∽△ABC，可得成比例的線段，問題得解；（2）首先假設(shè)存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值，然后把四邊形APNC的面積表示出來，其面積是一個二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解。
【考點精析】利用二次函數(shù)的最值和相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．